Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{3} \cdot \arccos (y - 2)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{3} \cdot \arccos (y - 2) = x$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \arccos (y - 2) = x$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{3} \cdot \arccos (y - 2) = x$ mit $3$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{3} \cdot \arccos (y - 2) = x$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \arccos (y - 2) \cdot 3 = x \cdot 3$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\arccos (y - 2)$ .

$\frac{\arccos (y - 2)}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\arccos (y - 2)}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Schritt 3.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\arccos (y - 2) = x \cdot 3$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\arccos (y - 2) = 3 x$

Schritt 3.3

Wende den inversen Arcuskosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Arcuskosinus herauszuziehen.

$y - 2 = \cos (3 x)$

Schritt 3.4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \cos (3 x) + 2$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \cos (3 x) + 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \cos (3 x) + 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)) = \cos (3 (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2))) + 2$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\arccos (x - 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)) = \cos (3 (\frac{\arccos (x - 2)}{3})) + 2$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)) = \cos (3 (\frac{\arccos (x - 2)}{3})) + 2$

Schritt 5.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)) = \cos (\arccos (x - 2)) + 2$

Schritt 5.2.3.3

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)) = x - 2 + 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\cos (3 x) + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\cos (3 x) + 2) = \frac{1}{3} \cdot \arccos ((\cos (3 x) + 2) - 2)$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\cos (3 x) + 2) - 2$ .

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\cos (3 x) + 2) = \frac{1}{3} \cdot \arccos (\cos (3 x) + 0)$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\cos (3 x)$ und $0$ .

$f (\cos (3 x) + 2) = \frac{1}{3} \cdot \arccos (\cos (3 x))$

Schritt 5.3.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\arccos (\cos (3 x))$ .

$f (\cos (3 x) + 2) = \frac{\arccos (\cos (3 x))}{3}$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \cos (3 x) + 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)$ .

$f^{- 1} (x) = \cos (3 x) + 2$