Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}$ als Gleichung.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{\sqrt[3]{y - 7}}{3}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\sqrt[3]{y - 7}}{3} = x$ um.

$\frac{\sqrt[3]{y - 7}}{3} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{\sqrt[3]{y - 7}}{3} = 3 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{\sqrt[3]{y - 7}}{3} = 3 x$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt[3]{y - 7} = 3 x$

Schritt 3.4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{y - 7}}^{3} = {(3 x)}^{3}$

Schritt 3.5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y - 7}$ als ${(y - 7)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(y - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(3 x)}^{3}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache ${({(y - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 x)}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 x)}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y - 7)}^{1} = {(3 x)}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.2

Vereinfache.

$y - 7 = {(3 x)}^{3}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Vereinfache ${(3 x)}^{3}$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$y - 7 = 3^{3} x^{3}$

Schritt 3.5.3.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$y - 7 = 27 x^{3}$

Schritt 3.6

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 27 x^{3} + 7$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 27 x^{3} + 7$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 27 x^{3} + 7$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 {(\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3})}^{3} + 7$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}$ an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{{\sqrt[3]{x - 7}}^{3}}{3^{3}}) + 7$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x - 7}}^{3}$ als $x - 7$ um.

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Schritt 5.2.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x - 7}$ als ${(x - 7)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{{({(x - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{3^{3}}) + 7$

Schritt 5.2.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{{(x - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{3^{3}}) + 7$

Schritt 5.2.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{{(x - 7)}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}}) + 7$

Schritt 5.2.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{{(x - 7)}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}}) + 7$

Schritt 5.2.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{x - 7}{3^{3}}) + 7$

Schritt 5.2.3.2.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{x - 7}{3^{3}}) + 7$

Schritt 5.2.3.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{x - 7}{27}) + 7$

Schritt 5.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{x - 7}{27}) + 7$

Schritt 5.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = x - 7 + 7$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 7 + 7$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 7$ und $7$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (27 x^{3} + 7)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (27 x^{3} + 7) = \frac{\sqrt[3]{(27 x^{3} + 7) - 7}}{3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$f (27 x^{3} + 7) = \frac{\sqrt[3]{27 x^{3} + 0}}{3}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $27 x^{3}$ und $0$ .

$f (27 x^{3} + 7) = \frac{\sqrt[3]{27 x^{3}}}{3}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe $27 x^{3}$ als ${(3 x)}^{3}$ um.

$f (27 x^{3} + 7) = \frac{\sqrt[3]{{(3 x)}^{3}}}{3}$

Schritt 5.3.3.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (27 x^{3} + 7) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (27 x^{3} + 7) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (27 x^{3} + 7) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 27 x^{3} + 7$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 27 x^{3} + 7$