Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \frac{- 2 x + 4}{3}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{- 2 x + 4}{3}$ als Gleichung.

$y = \frac{- 2 x + 4}{3}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{- 2 y + 4}{3}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{- 2 y + 4}{3} = x$ um.

$\frac{- 2 y + 4}{3} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{- 2 y + 4}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $\frac{- 2 y + 4}{3} \cdot 3$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y + 4$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{2 (- y) + 4}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (- y) + 2 (2)}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Schritt 3.3.1.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- y) + 2 (2)$ heraus.

$\frac{2 (- y + 2)}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- y + 2)}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (- y + 2) = x \cdot 3$

Schritt 3.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- y) + 2 \cdot 2 = x \cdot 3$

Schritt 3.3.1.1.4

Multipliziere.

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Schritt 3.3.1.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 y + 2 \cdot 2 = x \cdot 3$

Schritt 3.3.1.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 2 y + 4 = x \cdot 3$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 2 y + 4 = 3 x$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y = 3 x - 4$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y = 3 x - 4$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y = 3 x - 4$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{3 x}{- 2} + \frac{- 4}{- 2}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{3 x}{- 2} + \frac{- 4}{- 2}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3 x}{- 2} + \frac{- 4}{- 2}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{- 4}{- 2}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Dividiere $- 4$ durch $- 2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 2$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{- 2 x + 4}{3}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{- 2 x + 4}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x + 4}{3}) = - \frac{3 (\frac{- 2 x + 4}{3})}{2} + 2$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 4$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x + 4}{3}) = - \frac{3 (\frac{2 (- x) + 4}{3})}{2} + 2$

Schritt 5.2.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x + 4}{3}) = - \frac{3 (\frac{2 (- x) + 2 (2)}{3})}{2} + 2$

Schritt 5.2.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (2)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x + 4}{3}) = - \frac{3 (\frac{2 (- x + 2)}{3})}{2} + 2$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{2 (- x + 2)}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x + 4}{3}) = - \frac{\frac{3 (2 (- x + 2))}{3}}{2} + 2$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x + 4}{3}) = - \frac{\frac{6 (- x + 2)}{3}}{2} + 2$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{6 (- x + 2)}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6 (- x + 2)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x + 4}{3}) = - \frac{\frac{3 (2 (- x + 2))}{3}}{2} + 2$

Schritt 5.2.3.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x + 4}{3}) = - \frac{\frac{3 (2 (- x + 2))}{3 (1)}}{2} + 2$

Schritt 5.2.3.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x + 4}{3}) = - \frac{\frac{3 (2 (- x + 2))}{3 \cdot 1}}{2} + 2$

Schritt 5.2.3.4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x + 4}{3}) = - \frac{\frac{2 (- x + 2)}{1}}{2} + 2$

Schritt 5.2.3.4.2

Dividiere $2 (- x + 2)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x + 4}{3}) = - \frac{2 (- x + 2)}{2} + 2$

Schritt 5.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x + 4}{3}) = - \frac{2 (- x + 2)}{2} + 2$

Schritt 5.2.3.5.2

Dividiere $- x + 2$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x + 4}{3}) = - (- x + 2) + 2$

Schritt 5.2.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x + 4}{3}) = x - 1 \cdot 2 + 2$

Schritt 5.2.3.7

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.2.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x + 4}{3}) = 1 x - 1 \cdot 2 + 2$

Schritt 5.2.3.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x + 4}{3}) = x - 1 \cdot 2 + 2$

Schritt 5.2.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x + 4}{3}) = x - 2 + 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x + 4}{3}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x + 4}{3}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{3 x}{2} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 2) = \frac{- 2 (- \frac{3 x}{2} + 2) + 4}{3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 (- \frac{3 x}{2} + 2) + 4$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 (- \frac{3 x}{2} + 2)$ heraus.

$f (- \frac{3 x}{2} + 2) = \frac{2 (- (- \frac{3 x}{2} + 2)) + 4}{3}$

Schritt 5.3.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{3 x}{2} + 2) = \frac{2 (- (- \frac{3 x}{2} + 2)) + 2 (2)}{3}$

Schritt 5.3.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- (- \frac{3 x}{2} + 2)) + 2 (2)$ heraus.

$f (- \frac{3 x}{2} + 2) = \frac{2 (- (- \frac{3 x}{2} + 2) + 2)}{3}$

Schritt 5.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{3 x}{2} + 2) = \frac{2 (\frac{3 x}{2} - 1 \cdot 2 + 2)}{3}$

Schritt 5.3.3.3

Multipliziere $- - \frac{3 x}{2}$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 2) = \frac{2 (1 (\frac{3 x}{2}) - 1 \cdot 2 + 2)}{3}$

Schritt 5.3.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{3 x}{2}$ mit $1$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 2) = \frac{2 (\frac{3 x}{2} - 1 \cdot 2 + 2)}{3}$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 2) = \frac{2 (\frac{3 x}{2} - 2 + 2)}{3}$

Schritt 5.3.3.5

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 2) = \frac{2 (\frac{3 x}{2} + 0)}{3}$

Schritt 5.3.3.6

Addiere $\frac{3 x}{2}$ und $0$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 2) = \frac{2 (\frac{3 x}{2})}{3}$

Schritt 5.3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{3 x}{2}$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 2) = \frac{\frac{2 (3 x)}{2}}{3}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 2) = \frac{\frac{6 x}{2}}{3}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{6 x}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$f (- \frac{3 x}{2} + 2) = \frac{\frac{2 (3 x)}{2}}{3}$

Schritt 5.3.6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- \frac{3 x}{2} + 2) = \frac{\frac{2 (3 x)}{2 (1)}}{3}$

Schritt 5.3.6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{3 x}{2} + 2) = \frac{\frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1}}{3}$

Schritt 5.3.6.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{3 x}{2} + 2) = \frac{\frac{3 x}{1}}{3}$

Schritt 5.3.6.2

Dividiere $3 x$ durch $1$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 2) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{3 x}{2} + 2) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.3.7.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{- 2 x + 4}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 2$