Trigonometrie Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{5} x + 8$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - \frac{1}{5} x + 8$ als Gleichung.

$y = - \frac{1}{5} x + 8$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{1}{5} y + 8$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{5} y + 8 = x$ um.

$- \frac{1}{5} y + 8 = x$

Schritt 3.2

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{y}{5} + 8 = x$

Schritt 3.3

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{y}{5} = x - 8$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 5$ .

$- 5 (- \frac{y}{5}) = - 5 (x - 8)$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Vereinfache $- 5 (- \frac{y}{5})$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y}{5}$ in den Zähler.

$- 5 \frac{- y}{5} = - 5 (x - 8)$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$5 (- 1) \frac{- y}{5} = - 5 (x - 8)$

Schritt 3.5.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot - 1 \frac{- y}{5} = - 5 (x - 8)$

Schritt 3.5.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - 5 (x - 8)$

Schritt 3.5.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 3.5.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - 5 (x - 8)$

Schritt 3.5.1.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - 5 (x - 8)$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $- 5 (x - 8)$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 5 x - 5 \cdot - 8$

Schritt 3.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 8$ .

$y = - 5 x + 40$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - 5 x + 40$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - 5 x + 40$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \frac{1}{5} x + 8$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = - 5 (- \frac{1}{5} x + 8) + 40$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = - 5 (- \frac{x}{5} + 8) + 40$

Schritt 5.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = - 5 (- \frac{x}{5}) - 5 \cdot 8 + 40$

Schritt 5.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{5}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = - 5 \frac{- x}{5} - 5 \cdot 8 + 40$

Schritt 5.2.3.3.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = 5 (- 1) (\frac{- x}{5}) - 5 \cdot 8 + 40$

Schritt 5.2.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = 5 \cdot (- 1 \frac{- x}{5}) - 5 \cdot 8 + 40$

Schritt 5.2.3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = - 1 (- x) - 5 \cdot 8 + 40$

Schritt 5.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = 1 x - 5 \cdot 8 + 40$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = x - 5 \cdot 8 + 40$

Schritt 5.2.3.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $8$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = x - 40 + 40$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 40 + 40$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 40$ und $40$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- 5 x + 40)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- 5 x + 40) = - \frac{1}{5} \cdot (- 5 x + 40) + 8$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 5 x + 40) = - \frac{1}{5} \cdot (- 5 x) - \frac{1}{5} \cdot 40 + 8$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{5}$ in den Zähler.

$f (- 5 x + 40) = \frac{- 1}{5} \cdot (- 5 x) - \frac{1}{5} \cdot 40 + 8$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x$ heraus.

$f (- 5 x + 40) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{1}{5} \cdot 40 + 8$

Schritt 5.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 5 x + 40) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{1}{5} \cdot 40 + 8$

Schritt 5.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- 5 x + 40) = - 1 (- x) - \frac{1}{5} \cdot 40 + 8$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 5 x + 40) = 1 x - \frac{1}{5} \cdot 40 + 8$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- 5 x + 40) = x - \frac{1}{5} \cdot 40 + 8$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{5}$ in den Zähler.

$f (- 5 x + 40) = x + \frac{- 1}{5} \cdot 40 + 8$

Schritt 5.3.3.5.2

Faktorisiere $5$ aus $40$ heraus.

$f (- 5 x + 40) = x + \frac{- 1}{5} \cdot (5 (8)) + 8$

Schritt 5.3.3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 5 x + 40) = x + \frac{- 1}{5} \cdot (5 \cdot 8) + 8$

Schritt 5.3.3.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- 5 x + 40) = x - 1 \cdot 8 + 8$

Schritt 5.3.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f (- 5 x + 40) = x - 8 + 8$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 8 + 8$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 8$ und $8$ .

$f (- 5 x + 40) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- 5 x + 40) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - 5 x + 40$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \frac{1}{5} x + 8$ .

$f^{- 1} (x) = - 5 x + 40$