Trigonometrie Beispiele

$f (x) x^{2} + 2 x - 1$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$f = y (x) x^{2} + 2 x - 1$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $y x \cdot x^{2} + 2 x - 1 = f$ um.

$y x \cdot x^{2} + 2 x - 1 = f$

Schritt 2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$y (x^{2} x) + 2 x - 1 = f$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y (x^{2} x^{1}) + 2 x - 1 = f$

Schritt 2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y x^{2 + 1} + 2 x - 1 = f$

Schritt 2.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y x^{3} + 2 x - 1 = f$

Schritt 2.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x^{3} - 1 = f - 2 x$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x^{3} = f - 2 x + 1$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $y x^{3} = f - 2 x + 1$ durch $x^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y x^{3} = f - 2 x + 1$ durch $x^{3}$ .

$\frac{y x^{3}}{x^{3}} = \frac{f}{x^{3}} + \frac{- 2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x^{3}}{x^{3}} = \frac{f}{x^{3}} + \frac{- 2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 2.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{- 2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.4.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{x \cdot - 2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 2.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 2.4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 2.4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 2.4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (f)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (f) = \frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (f) = \frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ die Umkehrfunktion von $f (f) = f (x) x^{2} + 2 x - 1$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (f)) = f$ ist und $f (f^{- 1} (f)) = f$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (f))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (f))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{f (x) \cdot x^{2} + 2 x - 1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{f (x) \cdot x^{2} + 2 x - 1 + 1}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Schritt 4.2.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $f (x) \cdot x^{2} + 2 x - 1 + 1$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{f (x) \cdot x^{2} + 2 x + 0}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Schritt 4.2.3.2.2

Addiere $f (x) \cdot x^{2} + 2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{f (x) \cdot x^{2} + 2 x}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Schritt 4.2.3.3

Stelle die Faktoren in $f (x) x^{2} + 2 x$ um.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x^{2} f (x) + 2 x}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} f (x) + 2 x$ heraus.

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Schritt 4.2.4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} f (x)$ heraus.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (x f (x)) + 2 x}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Schritt 4.2.4.1.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (x f (x)) + x \cdot 2}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Schritt 4.2.4.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (x f (x)) + x \cdot 2$ heraus.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (x f (x) + 2)}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Schritt 4.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (x f (x) + 2)}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Schritt 4.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (x f (x) + 2)}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Schritt 4.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x) + 2}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Schritt 4.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x) + 2}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x) + 2 - 2}{x^{2}}$

Schritt 4.2.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x f (x) + 2 - 2$ .

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Schritt 4.2.5.2.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x) + 0}{x^{2}}$

Schritt 4.2.5.2.2

Addiere $x f (x)$ und $0$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x)}{x^{2}}$

Schritt 4.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 4.2.5.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x f (x)$ heraus.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (f (x))}{x^{2}}$

Schritt 4.2.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.5.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (f (x))}{x \cdot x}$

Schritt 4.2.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x)}{x \cdot x}$

Schritt 4.2.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{f (x)}{x}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (f))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (f))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) (x) \cdot x^{2} + 2 x - 1$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.3.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) (x^{2} x) + 2 x - 1$

Schritt 4.3.3.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 4.3.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) (x^{2} x) + 2 x - 1$

Schritt 4.3.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) x^{2 + 1} + 2 x - 1$

Schritt 4.3.3.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) x^{3} + 2 x - 1$

Schritt 4.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = \frac{f}{x^{3}} \cdot x^{3} - \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Schritt 4.3.3.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 4.3.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = \frac{f}{x^{3}} \cdot x^{3} - \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Schritt 4.3.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f - \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Schritt 4.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{x^{2}}$ in den Zähler.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + \frac{- 2}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Schritt 4.3.3.3.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + \frac{- 2}{x^{2}} \cdot (x^{2} x) + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Schritt 4.3.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + \frac{- 2}{x^{2}} \cdot (x^{2} x) + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Schritt 4.3.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f - 2 x + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Schritt 4.3.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f - 2 x + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Schritt 4.3.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f - 2 x + 1 + 2 x - 1$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $f - 2 x + 1 + 2 x - 1$ .

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Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + 0 + 1 - 1$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $f$ und $0$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + 1 - 1$

Schritt 4.3.4.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + 0$

Schritt 4.3.4.4

Addiere $f$ und $0$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (f)) = f$ und $f (f^{- 1} (f)) = f$ gleich sind, ist $f^{- 1} (f) = \frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (f) = f (x) x^{2} + 2 x - 1$ .

$f^{- 1} (f) = \frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$