Trigonometrie Beispiele

$f (x) - \sqrt{3 x - 2} - 1$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$f = y (x) - \sqrt{3 x - 2} - 1$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $y x - \sqrt{3 x - 2} - 1 = f$ um.

$y x - \sqrt{3 x - 2} - 1 = f$

Schritt 2.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Addiere $\sqrt{3 x - 2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x - 1 = f + \sqrt{3 x - 2}$

Schritt 2.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x = f + \sqrt{3 x - 2} + 1$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $y x = f + \sqrt{3 x - 2} + 1$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y x = f + \sqrt{3 x - 2} + 1$ durch $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{f}{x} + \frac{\sqrt{3 x - 2}}{x} + \frac{1}{x}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x}{x} = \frac{f}{x} + \frac{\sqrt{3 x - 2}}{x} + \frac{1}{x}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{f}{x} + \frac{\sqrt{3 x - 2}}{x} + \frac{1}{x}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{f + \sqrt{3 x - 2}}{x} + \frac{1}{x}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (f)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (f) = \frac{f + \sqrt{3 x - 2}}{x} + \frac{1}{x}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (f) = \frac{f + \sqrt{3 x - 2}}{x} + \frac{1}{x}$ die Umkehrfunktion von $f (f) = f (x) - \sqrt{3 x - 2} - 1$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (f)) = f$ ist und $f (f^{- 1} (f)) = f$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (f))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (f))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (f (x) - \sqrt{3 x - 2} - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (f (x) - \sqrt{3 x - 2} - 1) = \frac{(f (x) - \sqrt{3 x - 2} - 1) + \sqrt{3 x - 2}}{x} + \frac{1}{x}$

Schritt 4.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{(f (x) - \sqrt{3 x - 2} - 1) + \sqrt{3 x - 2}}{x} + \frac{1}{x}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Addiere $- \sqrt{3 x - 2}$ und $\sqrt{3 x - 2}$ .

$f^{- 1} (f (x) - \sqrt{3 x - 2} - 1) = \frac{f (x) + 0 - 1}{x} + \frac{1}{x}$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $f (x)$ und $0$ .

$f^{- 1} (f (x) - \sqrt{3 x - 2} - 1) = \frac{f (x) - 1}{x} + \frac{1}{x}$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (f (x) - \sqrt{3 x - 2} - 1) = \frac{f (x) - 1 + 1}{x}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.5.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (f (x) - \sqrt{3 x - 2} - 1) = \frac{f (x) + 0}{x}$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $f (x)$ und $0$ .

$f^{- 1} (f (x) - \sqrt{3 x - 2} - 1) = \frac{f (x)}{x}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (f))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (f))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{f + \sqrt{3 x - 2}}{x} + \frac{1}{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{f + \sqrt{3 x - 2}}{x} + \frac{1}{x}) = (\frac{f + \sqrt{3 x - 2}}{x} + \frac{1}{x}) (x) - \sqrt{3 x - 2} - 1$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{f + \sqrt{3 x - 2}}{x} + \frac{1}{x}) = \frac{f + \sqrt{3 x - 2}}{x} \cdot x + \frac{1}{x} \cdot x - \sqrt{3 x - 2} - 1$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{f + \sqrt{3 x - 2}}{x} + \frac{1}{x}) = \frac{f + \sqrt{3 x - 2}}{x} \cdot x + \frac{1}{x} \cdot x - \sqrt{3 x - 2} - 1$

Schritt 4.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{f + \sqrt{3 x - 2}}{x} + \frac{1}{x}) = f + \sqrt{3 x - 2} + \frac{1}{x} \cdot x - \sqrt{3 x - 2} - 1$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{f + \sqrt{3 x - 2}}{x} + \frac{1}{x}) = f + \sqrt{3 x - 2} + \frac{1}{x} \cdot x - \sqrt{3 x - 2} - 1$

Schritt 4.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{f + \sqrt{3 x - 2}}{x} + \frac{1}{x}) = f + \sqrt{3 x - 2} + 1 - \sqrt{3 x - 2} - 1$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $f + \sqrt{3 x - 2} + 1 - \sqrt{3 x - 2} - 1$ .

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $\sqrt{3 x - 2}$ von $\sqrt{3 x - 2}$ .

$f (\frac{f + \sqrt{3 x - 2}}{x} + \frac{1}{x}) = f + 0 + 1 - 1$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $f$ und $0$ .

$f (\frac{f + \sqrt{3 x - 2}}{x} + \frac{1}{x}) = f + 1 - 1$

Schritt 4.3.4.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{f + \sqrt{3 x - 2}}{x} + \frac{1}{x}) = f + 0$

Schritt 4.3.4.4

Addiere $f$ und $0$ .

$f (\frac{f + \sqrt{3 x - 2}}{x} + \frac{1}{x}) = f$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (f)) = f$ und $f (f^{- 1} (f)) = f$ gleich sind, ist $f^{- 1} (f) = \frac{f + \sqrt{3 x - 2}}{x} + \frac{1}{x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (f) = f (x) - \sqrt{3 x - 2} - 1$ .

$f^{- 1} (f) = \frac{f + \sqrt{3 x - 2}}{x} + \frac{1}{x}$