Trigonometrie Beispiele

$f (x) - \frac{3}{5} x + 9$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$f = y (x) - \frac{3}{5} x + 9$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $y x - \frac{3}{5} x + 9 = f$ um.

$y x - \frac{3}{5} x + 9 = f$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{5}$ .

$y x - \frac{x \cdot 3}{5} + 9 = f$

Schritt 2.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y x - \frac{3 x}{5} + 9 = f$

Schritt 2.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Addiere $\frac{3 x}{5}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x + 9 = f + \frac{3 x}{5}$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x = f + \frac{3 x}{5} - 9$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $y x = f + \frac{3 x}{5} - 9$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y x = f + \frac{3 x}{5} - 9$ durch $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{f}{x} + \frac{\frac{3 x}{5}}{x} + \frac{- 9}{x}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x}{x} = \frac{f}{x} + \frac{\frac{3 x}{5}}{x} + \frac{- 9}{x}$

Schritt 2.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{f}{x} + \frac{\frac{3 x}{5}}{x} + \frac{- 9}{x}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{f}{x} + \frac{3 x}{5} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- 9}{x}$

Schritt 2.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.4.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$y = \frac{f}{x} + \frac{x \cdot 3}{5} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- 9}{x}$

Schritt 2.4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{f}{x} + \frac{x \cdot 3}{5} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- 9}{x}$

Schritt 2.4.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{f}{x} + \frac{3}{5} + \frac{- 9}{x}$

Schritt 2.4.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{f}{x} + \frac{3}{5} - \frac{9}{x}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (f)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (f) = \frac{f}{x} + \frac{3}{5} - \frac{9}{x}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (f) = \frac{f}{x} + \frac{3}{5} - \frac{9}{x}$ die Umkehrfunktion von $f (f) = f (x) - \frac{3}{5} x + 9$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (f)) = f$ ist und $f (f^{- 1} (f)) = f$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (f))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (f))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (f (x) - \frac{3}{5} x + 9)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (f (x) - \frac{3}{5} x + 9) = \frac{f (x) - \frac{3}{5} x + 9}{x} + \frac{3}{5} - \frac{9}{x}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (f (x) - \frac{3}{5} x + 9) = \frac{f (x) - \frac{3}{5} x + 9 - 9}{x} + \frac{3}{5}$

Schritt 4.2.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $f (x) - \frac{3}{5} x + 9 - 9$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$f^{- 1} (f (x) - \frac{3}{5} x + 9) = \frac{f (x) - \frac{3}{5} x + 0}{x} + \frac{3}{5}$

Schritt 4.2.3.2.2

Addiere $f (x) - \frac{3}{5} x$ und $0$ .

$f^{- 1} (f (x) - \frac{3}{5} x + 9) = \frac{f (x) - \frac{3}{5} x}{x} + \frac{3}{5}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{5}$ .

$f^{- 1} (f (x) - \frac{3}{5} x + 9) = \frac{f (x) - \frac{x \cdot 3}{5}}{x} + \frac{3}{5}$

Schritt 4.2.4.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (f (x) - \frac{3}{5} x + 9) = \frac{f (x) - \frac{3 x}{5}}{x} + \frac{3}{5}$

Schritt 4.2.5

Stelle $f (x)$ und $- \frac{3 x}{5}$ um.

$f^{- 1} (f (x) - \frac{3}{5} x + 9) = \frac{- \frac{3 x}{5} + f (x)}{x} + \frac{3}{5}$

Schritt 4.2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.6.1.1

Um $f (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f^{- 1} (f (x) - \frac{3}{5} x + 9) = \frac{- \frac{3 x}{5} + f (x) \cdot \frac{5}{5}}{x} + \frac{3}{5}$

Schritt 4.2.6.1.2

Kombiniere $f (x)$ und $\frac{5}{5}$ .

$f^{- 1} (f (x) - \frac{3}{5} x + 9) = \frac{- \frac{3 x}{5} + \frac{f (x) \cdot 5}{5}}{x} + \frac{3}{5}$

Schritt 4.2.6.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (f (x) - \frac{3}{5} x + 9) = \frac{\frac{- 3 x + f (x) \cdot 5}{5}}{x} + \frac{3}{5}$

Schritt 4.2.6.1.4

Bringe $5$ auf die linke Seite von $f (x)$ .

$f^{- 1} (f (x) - \frac{3}{5} x + 9) = \frac{\frac{- 3 x + 5 f (x)}{5}}{x} + \frac{3}{5}$

Schritt 4.2.6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (f (x) - \frac{3}{5} x + 9) = \frac{- 3 x + 5 f (x)}{5} \cdot \frac{1}{x} + \frac{3}{5}$

Schritt 4.2.6.3

Mutltipliziere $\frac{- 3 x + 5 f (x)}{5}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$f^{- 1} (f (x) - \frac{3}{5} x + 9) = \frac{- 3 x + 5 f (x)}{5 x} + \frac{3}{5}$

Schritt 4.2.7

Um $\frac{3}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$f^{- 1} (f (x) - \frac{3}{5} x + 9) = \frac{- 3 x + 5 f (x)}{5 x} + \frac{3}{5} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 4.2.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.8.1

Mutltipliziere $\frac{3}{5}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$f^{- 1} (f (x) - \frac{3}{5} x + 9) = \frac{- 3 x + 5 f (x)}{5 x} + \frac{3 x}{5 x}$

Schritt 4.2.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (f (x) - \frac{3}{5} x + 9) = \frac{- 3 x + 5 f (x) + 3 x}{5 x}$

Schritt 4.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.9.1

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$f^{- 1} (f (x) - \frac{3}{5} x + 9) = \frac{5 f (x) + 0}{5 x}$

Schritt 4.2.9.2

Addiere $5 f (x)$ und $0$ .

$f^{- 1} (f (x) - \frac{3}{5} x + 9) = \frac{5 f (x)}{5 x}$

Schritt 4.2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (f (x) - \frac{3}{5} x + 9) = \frac{5 f (x)}{5 x}$

Schritt 4.2.10.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (f (x) - \frac{3}{5} x + 9) = \frac{f (x)}{x}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (f))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (f))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{f}{x} + \frac{3}{5} - \frac{9}{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{f}{x} + \frac{3}{5} - \frac{9}{x}) = (\frac{f}{x} + \frac{3}{5} - \frac{9}{x}) (x) - \frac{3}{5} x + 9$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{f}{x} + \frac{3}{5} - \frac{9}{x}) = \frac{f}{x} \cdot x + \frac{3}{5} x - \frac{9}{x} \cdot x - \frac{3}{5} x + 9$

Schritt 4.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{f}{x} + \frac{3}{5} - \frac{9}{x}) = \frac{f}{x} \cdot x + \frac{3}{5} x - \frac{9}{x} \cdot x - \frac{3}{5} x + 9$

Schritt 4.3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{f}{x} + \frac{3}{5} - \frac{9}{x}) = f + \frac{3}{5} x - \frac{9}{x} \cdot x - \frac{3}{5} x + 9$

Schritt 4.3.3.2.2

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $x$ .

$f (\frac{f}{x} + \frac{3}{5} - \frac{9}{x}) = f + \frac{3 x}{5} - \frac{9}{x} \cdot x - \frac{3}{5} x + 9$

Schritt 4.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.3.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9}{x}$ in den Zähler.

$f (\frac{f}{x} + \frac{3}{5} - \frac{9}{x}) = f + \frac{3 x}{5} + \frac{- 9}{x} \cdot x - \frac{3}{5} x + 9$

Schritt 4.3.3.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{f}{x} + \frac{3}{5} - \frac{9}{x}) = f + \frac{3 x}{5} + \frac{- 9}{x} \cdot x - \frac{3}{5} x + 9$

Schritt 4.3.3.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{f}{x} + \frac{3}{5} - \frac{9}{x}) = f + \frac{3 x}{5} - 9 - \frac{3}{5} x + 9$

Schritt 4.3.3.3

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{5}$ .

$f (\frac{f}{x} + \frac{3}{5} - \frac{9}{x}) = f + \frac{3 x}{5} - 9 - \frac{x \cdot 3}{5} + 9$

Schritt 4.3.3.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (\frac{f}{x} + \frac{3}{5} - \frac{9}{x}) = f + \frac{3 x}{5} - 9 - \frac{3 x}{5} + 9$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $f + \frac{3 x}{5} - 9 - \frac{3 x}{5} + 9$ .

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $\frac{3 x}{5}$ von $\frac{3 x}{5}$ .

$f (\frac{f}{x} + \frac{3}{5} - \frac{9}{x}) = f + 0 - 9 + 9$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $f$ und $0$ .

$f (\frac{f}{x} + \frac{3}{5} - \frac{9}{x}) = f - 9 + 9$

Schritt 4.3.4.3

Addiere $- 9$ und $9$ .

$f (\frac{f}{x} + \frac{3}{5} - \frac{9}{x}) = f + 0$

Schritt 4.3.4.4

Addiere $f$ und $0$ .

$f (\frac{f}{x} + \frac{3}{5} - \frac{9}{x}) = f$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (f)) = f$ und $f (f^{- 1} (f)) = f$ gleich sind, ist $f^{- 1} (f) = \frac{f}{x} + \frac{3}{5} - \frac{9}{x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (f) = f (x) - \frac{3}{5} x + 9$ .

$f^{- 1} (f) = \frac{f}{x} + \frac{3}{5} - \frac{9}{x}$