Trigonometrie Beispiele

$f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 1

Schreibe $f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ als Gleichung.

$y = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$t = 40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55 = t$ um.

$40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55 = t$

Schritt 3.2

Subtrahiere $55$ von beiden Seiten der Gleichung.

$40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$ durch $40$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$ durch $40$ .

$\frac{40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})}{40} = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $40$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})}{40} = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})$ durch $1$ .

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 55$ und $40$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $- 55$ heraus.

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 (- 11)}{40}$

Schritt 3.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $40$ heraus.

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 \cdot - 11}{5 \cdot 8}$

Schritt 3.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 \cdot - 11}{5 \cdot 8}$

Schritt 3.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{- 11}{8}$

Schritt 3.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} - \frac{11}{8}$

Schritt 3.4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$

Schritt 3.5

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Kombiniere $\frac{5 π}{4}$ und $y$ .

$\frac{5 π y}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$

Schritt 3.6

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{5 π y}{4} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2}$

Schritt 3.7

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{5 π}$ .

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Schritt 3.8

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1.1

Vereinfache $\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Schritt 3.8.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Schritt 3.8.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1.1.2.1

Faktorisiere $5 π$ aus $5 π y$ heraus.

$\frac{1}{5 π} (5 π (y)) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Schritt 3.8.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Schritt 3.8.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Schritt 3.8.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.2.1

Vereinfache $\frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{4}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 3.8.2.1.2

Kombiniere $\frac{4}{5 π}$ und $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{4}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 3.8.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.2.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2 (2)}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 3.8.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2 \cdot 2}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 3.8.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5 π} π$

Schritt 3.8.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.2.1.4.1

Faktorisiere $π$ aus $5 π$ heraus.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Schritt 3.8.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Schritt 3.8.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Schritt 3.9

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{5 π y}{4} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2}$

Schritt 3.10

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{5 π}$ .

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Schritt 3.11

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.1.1

Vereinfache $\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Schritt 3.11.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Schritt 3.11.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.1.1.2.1

Faktorisiere $5 π$ aus $5 π y$ heraus.

$\frac{1}{5 π} (5 π (y)) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Schritt 3.11.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Schritt 3.11.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Schritt 3.11.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.2.1

Vereinfache $\frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.2.1.1

Um $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Schritt 3.11.2.1.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.2.1.2.1

Kombiniere $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{4}{5 π} (\frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Schritt 3.11.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{4}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 3.11.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.2.1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{2 (2)}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 3.11.2.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \cdot 2}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 3.11.2.1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π)$

Schritt 3.11.2.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ .

$y = \frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + π)$

Schritt 3.11.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})) + \frac{2}{5 π} π$

Schritt 3.11.2.1.5

Multipliziere $\frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.2.1.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{5 π}$ .

$y = \frac{2 \cdot 2}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{2}{5 π} π$

Schritt 3.11.2.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{4}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{2}{5 π} π$

Schritt 3.11.2.1.5.3

Kombiniere $\frac{4}{5 π}$ und $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5 π} π$

Schritt 3.11.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.2.1.6.1

Faktorisiere $π$ aus $5 π$ heraus.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Schritt 3.11.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Schritt 3.11.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Schritt 3.11.2.1.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.2.1.7.1

Um $- \frac{11}{8}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8} \cdot \frac{5}{5})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Schritt 3.11.2.1.7.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $40$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.2.1.7.2.1

Mutltipliziere $\frac{11}{8}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11 \cdot 5}{8 \cdot 5})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Schritt 3.11.2.1.7.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11 \cdot 5}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Schritt 3.11.2.1.7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 11 \cdot 5}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Schritt 3.11.2.1.7.4

Mutltipliziere $- 11$ mit $5$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Schritt 3.11.2.1.8

Um $\frac{2}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{π}{π}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2}{5} \cdot \frac{π}{π}$

Schritt 3.11.2.1.9

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $\frac{π}{π}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2 π}{5 π}$

Schritt 3.11.2.1.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 2 π}{5 π}$

Schritt 3.11.2.1.11

Faktorisiere $2$ aus $4 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 2 π$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.2.1.11.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ heraus.

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 π}{5 π}$

Schritt 3.11.2.1.11.2

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 (π)}{5 π}$

Schritt 3.11.2.1.11.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 (π)$ heraus.

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (t)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$ die Umkehrfunktion von $f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (t)) = t$ ist und $f (f^{- 1} (t)) = t$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (t))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (t))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{(40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $(40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) - 55$ und $40$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $5$ aus $40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})$ heraus.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 55 - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Schritt 5.2.3.2

Faktorisiere $5$ aus $55$ heraus.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 5 (11) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Schritt 5.2.3.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 5 (11)$ heraus.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Schritt 5.2.3.4

Faktorisiere $5$ aus $- 55$ heraus.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) + 5 (- 11)}{40}) + π)}{5 π}$

Schritt 5.2.3.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) + 5 (- 11)$ heraus.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{40}) + π)}{5 π}$

Schritt 5.2.3.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.6.1

Faktorisiere $5$ aus $40$ heraus.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{5 (8)}) + π)}{5 π}$

Schritt 5.2.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{5 \cdot 8}) + π)}{5 π}$

Schritt 5.2.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11}{8}) + π)}{5 π}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Kombiniere $\frac{5 π}{4}$ und $t$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2}) + 11 - 11}{8}) + π)}{5 π}$

Schritt 5.2.4.2

Subtrahiere $11$ von $11$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2}) + 0}{8}) + π)}{5 π}$

Schritt 5.2.4.3

Addiere $8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})$ und $0$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})}{8}) + π)}{5 π}$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})}{8}) + π)}{5 π}$

Schritt 5.2.5.2

Dividiere $\sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})$ durch $1$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})) + π)}{5 π}$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (t))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (t))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} \cdot (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π} - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{4} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2 (2)} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 5.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π) - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 5.3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 5.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ heraus.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arcsin (\frac{t - 55}{40}))) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 5.3.3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 5.3.3.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 5.3.3.1.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $π$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 5.3.3.1.6

Um $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 5.3.3.1.7

Kombiniere $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot 2}{2} + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 5.3.3.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot 2 + π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 5.3.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 5.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π - π}{2}) + 55$

Schritt 5.3.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π - π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.3.1

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 0}{2}) + 55$

Schritt 5.3.3.3.2

Addiere $2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ und $0$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{2}) + 55$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{2}) + 55$

Schritt 5.3.3.4.2

Dividiere $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ durch $1$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 55$

Schritt 5.3.3.5

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 (\frac{t - 55}{40}) + 55$

Schritt 5.3.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $40$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 (\frac{t - 55}{40}) + 55$

Schritt 5.3.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t - 55 + 55$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $t - 55 + 55$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 55$ und $55$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $t$ und $0$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (t)) = t$ und $f (f^{- 1} (t)) = t$ gleich sind, ist $f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ .

$f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$