Trigonometrie Beispiele

$f (t) = 3 e^{0.1 t}$

Schritt 1

Schreibe $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ als Gleichung.

$y = 3 e^{0.1 t}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$t = 3 e^{0.1 y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $3 e^{0.1 y} = t$ um.

$3 e^{0.1 y} = t$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 e^{0.1 y} = t$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 e^{0.1 y} = t$ durch $3$ .

$\frac{3 e^{0.1 y}}{3} = \frac{t}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 e^{0.1 y}}{3} = \frac{t}{3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $e^{0.1 y}$ durch $1$ .

$e^{0.1 y} = \frac{t}{3}$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{0.1 y}) = \ln (\frac{t}{3})$

Schritt 3.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.1

Zerlege $\ln (e^{0.1 y})$ durch Herausziehen von $0.1 y$ aus dem Logarithmus.

$0.1 y \ln (e) = \ln (\frac{t}{3})$

Schritt 3.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$0.1 y \cdot 1 = \ln (\frac{t}{3})$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $0.1$ mit $1$ .

$0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$ durch $0.1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$ durch $0.1$ .

$\frac{0.1 y}{0.1} = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.1$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.1 y}{0.1} = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Schritt 3.5.3.2

Faktorisiere $0.1$ aus $0.1$ heraus.

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{3})}{0.1 (1)}$

Schritt 3.5.3.3

Separiere Brüche.

$y = \frac{1}{0.1} \cdot \frac{\ln (\frac{t}{3})}{1}$

Schritt 3.5.3.4

Dividiere $1$ durch $0.1$ .

$y = 10 \frac{\ln (\frac{t}{3})}{1}$

Schritt 3.5.3.5

Dividiere $\ln (\frac{t}{3})$ durch $1$ .

$y = 10 \ln (\frac{t}{3})$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$ die Umkehrfunktion von $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (t)) = t$ ist und $f (f^{- 1} (t)) = t$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (t))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (t))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (3 e^{0.1 t})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (\frac{3 e^{0.1 t}}{3})$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (\frac{3 e^{0.1 t}}{3})$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $e^{0.1 t}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (e^{0.1 t})$

Schritt 5.2.4

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $0.1 t$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t \ln (e))$

Schritt 5.2.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t \cdot 1)$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $0.1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t)$

Schritt 5.2.7

Multipliziere $10 (0.1 t)$ .

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Schritt 5.2.7.1

Mutltipliziere $0.1$ mit $10$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 1 t$

Schritt 5.2.7.2

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = t$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (t))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (t))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (10 \ln (\frac{t}{3}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{0.1 (10 \ln (\frac{t}{3}))}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache $10 \ln (\frac{t}{3})$ , indem du $10$ in den Logarithmus ziehst.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{0.1 \ln ({(\frac{t}{3})}^{10})}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache $0.1 \ln ({(\frac{t}{3})}^{10})$ , indem du $0.1$ in den Logarithmus ziehst.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{\ln ({({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1})}$

Schritt 5.3.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 {({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1}$

Schritt 5.3.6

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1}$ .

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Schritt 5.3.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 {(\frac{t}{3})}^{10 \cdot 0.1}$

Schritt 5.3.6.2

Mutltipliziere $10$ mit $0.1$ .

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 (\frac{t}{3})$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 (\frac{t}{3})$

Schritt 5.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = t$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (t)) = t$ und $f (f^{- 1} (t)) = t$ gleich sind, ist $f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ .

$f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$