Trigonometrie Beispiele

$f (t) = - \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)$

Schritt 1

Schreibe $f (t) = - \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)$ als Gleichung.

$y = - \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$t = - \frac{1}{4} \cdot \cos (2 y)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 y) = t$ um.

$- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 y) = t$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 4$ .

$- 4 (- \frac{1}{4} \cos (2 y)) = - 4 t$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- 4 (- \frac{1}{4} \cos (2 y))$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kombiniere $\cos (2 y)$ und $\frac{1}{4}$ .

$- 4 (- \frac{\cos (2 y)}{4}) = - 4 t$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\cos (2 y)}{4}$ in den Zähler.

$- 4 \frac{- \cos (2 y)}{4} = - 4 t$

Schritt 3.3.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$4 (- 1) \frac{- \cos (2 y)}{4} = - 4 t$

Schritt 3.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot - 1 \frac{- \cos (2 y)}{4} = - 4 t$

Schritt 3.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \cos (2 y) = - 4 t$

Schritt 3.3.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \cos (2 y) = - 4 t$

Schritt 3.3.1.3.2

Mutltipliziere $\cos (2 y)$ mit $1$ .

$\cos (2 y) = - 4 t$

Schritt 3.4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 y = \arccos (- 4 t)$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \arccos (- 4 t)$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \arccos (- 4 t)$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (- 4 t)}{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (- 4 t)}{2}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arccos (- 4 t)}{2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (t)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (t) = \frac{\arccos (- 4 t)}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (t) = \frac{\arccos (- 4 t)}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (t) = - \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (t)) = t$ ist und $f (f^{- 1} (t)) = t$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (t))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (t))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)) = \frac{\arccos (- 4 (- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)))}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $\cos (2 t)$ und $\frac{1}{4}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)) = \frac{\arccos (- 4 (- \frac{\cos (2 t)}{4}))}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\cos (2 t)}{4}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)) = \frac{\arccos (- 4 \frac{- \cos (2 t)}{4})}{2}$

Schritt 5.2.3.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)) = \frac{\arccos (4 (- 1) (\frac{- \cos (2 t)}{4}))}{2}$

Schritt 5.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)) = \frac{\arccos (4 \cdot (- 1 \frac{- \cos (2 t)}{4}))}{2}$

Schritt 5.2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)) = \frac{\arccos (- 1 (- \cos (2 t)))}{2}$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)) = \frac{\arccos (1 \cos (2 t))}{2}$

Schritt 5.2.3.4

Mutltipliziere $\cos (2 t)$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)) = \frac{\arccos (\cos (2 t))}{2}$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (t))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (t))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\arccos (- 4 t)}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}) = - \frac{1}{4} \cdot \cos (2 (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}))$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}) = - \frac{1}{4} \cdot \cos (2 (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}))$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}) = - \frac{1}{4} \cdot \cos (\arccos (- 4 t))$

Schritt 5.3.4

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}) = - \frac{1}{4} \cdot (- 4 t)$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$f (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}) = \frac{- 1}{4} \cdot (- 4 t)$

Schritt 5.3.5.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 t$ heraus.

$f (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}) = \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- t))$

Schritt 5.3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}) = \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- t))$

Schritt 5.3.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}) = - 1 \cdot (- t)$

Schritt 5.3.6

Multipliziere.

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Schritt 5.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}) = 1 \cdot t$

Schritt 5.3.6.2

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$f (\frac{\arccos (- 4 t)}{2}) = t$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (t)) = t$ und $f (f^{- 1} (t)) = t$ gleich sind, ist $f^{- 1} (t) = \frac{\arccos (- 4 t)}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (t) = - \frac{1}{4} \cdot \cos (2 t)$ .

$f^{- 1} (t) = \frac{\arccos (- 4 t)}{2}$