Trigonometrie Beispiele

cot (arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))

$\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

x = cot (arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}))

$x = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}))$

Schritt 2

Löse nach

y

$y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als

cot (arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x

$\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x$ um.

cot (arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x

$\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x$

Schritt 2.2

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um

arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})

$\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}) = arccot (x)

$\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}) = arccot (x)$

Schritt 2.3

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um

y

$y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

\sqrt{\frac{2}{y}} = tan (arccot (x))

$\sqrt{\frac{2}{y}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache

\sqrt{\frac{2}{y}}

$\sqrt{\frac{2}{y}}$ .

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Schritt 2.4.1.1

Schreibe

\sqrt{\frac{2}{y}}

$\sqrt{\frac{2}{y}}$ als

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ um.

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.2

Mutltipliziere

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ mit

\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.1.3.1

Mutltipliziere

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ mit

\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.3.2

Potenziere

\sqrt{y}

$\sqrt{y}$ mit

1

$1$ .

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.3.3

Potenziere

\sqrt{y}

$\sqrt{y}$ mit

1

$1$ .

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.3.4

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.3.5

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.3.6

Schreibe

{\sqrt{y}}^{2}

${\sqrt{y}}^{2}$ als

y

$y$ um.

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Schritt 2.4.1.3.6.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{y}

$\sqrt{y}$ als

y^{\frac{1}{2}}

$y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.3.6.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 2.4.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{1}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.3.6.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2 y}}{y} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten

$(x, 1)$ ,

$(x, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist

$arccot (x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch

$(x, 1)$ verläuft. Folglich ist

$\tan (arccot (x))$

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{2 y}}{y} = \frac{1}{x}$

Schritt 2.6

Multipliziere über Kreuz.

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Schritt 2.6.1

Multipliziere über Kreuz, indem du das Produkt aus dem Zähler der rechten Seite und dem Nenner der linken Seite gleich dem Produkt aus dem Zähler der linken Seite und dem Nenner der rechten Seite setzt.

$1 \cdot (y) = \sqrt{2 y} \cdot (x)$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Mutltipliziere

$y$ mit

$1$ .

$y = \sqrt{2 y} \cdot (x)$

Schritt 2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.3.1

Multipliziere

$\sqrt{2 y}$ mit

$x$ .

$y = \sqrt{2 y} x$

Schritt 2.7

Schreibe die Gleichung als

$\sqrt{2 y} x = y$ um.

$\sqrt{2 y} x = y$

Schritt 2.8

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(\sqrt{2 y} x)}^{2} = y^{2}$

Schritt 2.9

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.9.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{2 y}$ als

${(2 y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 y)}^{\frac{1}{2}} x)}^{2} = y^{2}$

Schritt 2.9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.9.2.1

Vereinfache

${({(2 y)}^{\frac{1}{2}} x)}^{2}$ .

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Schritt 2.9.2.1.1

Wende die Produktregel auf

$2 y$ an.

${(2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} x)}^{2} = y^{2}$

Schritt 2.9.2.1.2

Wende die Exponentenregel

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.9.2.1.2.1

Wende die Produktregel auf

$2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} x$ an.

${(2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Schritt 2.9.2.1.2.2

Wende die Produktregel auf

$2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ an.

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Schritt 2.9.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.9.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Schritt 2.9.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 2.9.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Schritt 2.9.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{1} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Schritt 2.9.2.1.4

Berechne den Exponenten.

$2 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Schritt 2.9.2.1.5

Multipliziere die Exponenten in

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.9.2.1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2} = y^{2}$

Schritt 2.9.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 2.9.2.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2} = y^{2}$

Schritt 2.9.2.1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 y^{1} x^{2} = y^{2}$

Schritt 2.9.2.1.6

Vereinfache.

$2 y x^{2} = y^{2}$

Schritt 2.10

Löse nach

$y$ auf.

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Schritt 2.10.1

Subtrahiere

$y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y x^{2} - y^{2} = 0$

Schritt 2.10.2

Faktorisiere

$y$ aus

$2 y x^{2} - y^{2}$ heraus.

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Schritt 2.10.2.1

Faktorisiere

$y$ aus

$2 y x^{2}$ heraus.

$y (2 x^{2}) - y^{2} = 0$

Schritt 2.10.2.2

Faktorisiere

$y$ aus

$- y^{2}$ heraus.

$y (2 x^{2}) + y (- y) = 0$

Schritt 2.10.2.3

Faktorisiere

$y$ aus

$y (2 x^{2}) + y (- y)$ heraus.

$y (2 x^{2} - y) = 0$

Schritt 2.10.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

$0$ .

$y = 0$

$2 x^{2} - y = 0$

Schritt 2.10.4

Setze

$y$ gleich

$0$ .

$y = 0$

Schritt 2.10.5

Setze

$2 x^{2} - y$ gleich

$0$ und löse nach

$y$ auf.

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Schritt 2.10.5.1

Setze

$2 x^{2} - y$ gleich

$0$ .

$2 x^{2} - y = 0$

Schritt 2.10.5.2

Löse

$2 x^{2} - y = 0$ nach

$y$ auf.

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Schritt 2.10.5.2.1

Subtrahiere

$2 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = - 2 x^{2}$

Schritt 2.10.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in

$- y = - 2 x^{2}$ durch

$- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.10.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

$- y = - 2 x^{2}$ durch

$- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

Schritt 2.10.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.10.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

Schritt 2.10.5.2.2.2.2

Dividiere

$y$ durch

$1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

Schritt 2.10.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.10.5.2.2.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von

$\frac{- 2 x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (- 2 x^{2})$

Schritt 2.10.5.2.2.3.2

Schreibe

$- 1 \cdot (- 2 x^{2})$ als

$- (- 2 x^{2})$ um.

$y = - (- 2 x^{2})$

Schritt 2.10.5.2.2.3.3

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$- 1$ .

$y = 2 x^{2}$

Schritt 2.10.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$y (2 x^{2} - y) = 0$ wahr machen.

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

Schritt 3

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ die Umkehrfunktion von

$f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ ist.

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Schritt 4.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von

$f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ und

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ und vergleiche sie.

Schritt 4.2

Bestimme den Definitionsbereich von

$0$ .

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Schritt 4.2.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 4.3

Da die Definitionsbereich von

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ nicht gleich dem Wertebereich von

$f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ ist, ist

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ keine inverse Funktion von

$f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 5