Trigonometrie Beispiele

$\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}}))$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})) = x$ um.

$\cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})) = x$

Schritt 2.2

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}}) = arccot (x)$

Schritt 2.3

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$\frac{y}{\sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $\frac{y}{\sqrt{3}}$ .

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Schritt 2.4.1.1

Mutltipliziere $\frac{y}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{y}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{y}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.4.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{y \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{1}} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.4.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{y \sqrt{3}}{3} = \tan (arccot (x))$

Schritt 2.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(x, 1)$ , $(x, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $arccot (x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(x, 1)$ verläuft. Folglich ist $\tan (arccot (x))$ $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{1}{x}$

Schritt 2.6

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.7

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.1.1

Vereinfache $\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 2.7.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.7.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.7.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{3}} (y \sqrt{3}) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.7.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 2.7.1.1.2.1

Faktorisiere $\sqrt{3}$ aus $y \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} y) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.7.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} y) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.7.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.2.1

Vereinfache $\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Schritt 2.7.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \frac{1}{x}$

Schritt 2.7.2.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.7.2.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.7.2.1.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.7.2.1.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.7.2.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.7.2.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.7.2.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.7.2.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.7.2.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.7.2.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.7.2.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.2.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.7.2.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{1}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.7.2.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.7.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.7.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.7.2.1.3.2

Dividiere $\sqrt{3}$ durch $1$ .

$y = \sqrt{3} \frac{1}{x}$

Schritt 2.7.2.1.4

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{x}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}})))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

Schritt 4.2.3

Separiere Brüche.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{1}{\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

Schritt 4.2.4

Schreibe $\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}}$

Schritt 4.2.5

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$ zu dividieren.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

Schritt 4.2.6

Wandle von $\frac{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$ nach $\tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ um.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

Schritt 4.2.7

Dividiere $\sqrt{3}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

Schritt 4.2.8

Die Funktionen Tangens und Arkustangens sind Inverse.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Schritt 4.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 4.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Schritt 4.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt{3}}{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \cot (\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}))$

Schritt 4.3.3

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ verläuft. Folglich ist $\cot (\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}))$ $\frac{1}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \frac{1}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}}$

Schritt 4.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = 1 (\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}})$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}}$ mit $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}}$

Schritt 4.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Schritt 4.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 4.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Schritt 4.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$