Trigonometrie Beispiele

$7 \sin (8 x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 7 \sin (8 y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $7 \sin (8 y) = x$ um.

$7 \sin (8 y) = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 \sin (8 y) = x$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 \sin (8 y) = x$ durch $7$ .

$\frac{7 \sin (8 y)}{7} = \frac{x}{7}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 \sin (8 y)}{7} = \frac{x}{7}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (8 y)$ durch $1$ .

$\sin (8 y) = \frac{x}{7}$

Schritt 2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$8 y = \arcsin (\frac{x}{7})$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $8 y = \arcsin (\frac{x}{7})$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y = \arcsin (\frac{x}{7})$ durch $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{\arcsin (\frac{x}{7})}{8}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y}{8} = \frac{\arcsin (\frac{x}{7})}{8}$

Schritt 2.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{7})}{8}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{7})}{8}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{7})}{8}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 7 \sin (8 x)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (7 \sin (8 x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (7 \sin (8 x)) = \frac{\arcsin (\frac{7 \sin (8 x)}{7})}{8}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (7 \sin (8 x)) = \frac{\arcsin (\frac{7 \sin (8 x)}{7})}{8}$

Schritt 4.2.3.2

Dividiere $\sin (8 x)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (7 \sin (8 x)) = \frac{\arcsin (\sin (8 x))}{8}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\arcsin (\frac{x}{7})}{8})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{7})}{8}) = 7 \sin (8 (\frac{\arcsin (\frac{x}{7})}{8}))$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{7})}{8}) = 7 \sin (8 (\frac{\arcsin (\frac{x}{7})}{8}))$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{7})}{8}) = 7 \sin (\arcsin (\frac{x}{7}))$

Schritt 4.3.4

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{7})}{8}) = 7 (\frac{x}{7})$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 4.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{7})}{8}) = 7 (\frac{x}{7})$

Schritt 4.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{7})}{8}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{7})}{8}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 7 \sin (8 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{7})}{8}$