Trigonometrie Beispiele

$\cos (x - y)$

Schritt 1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x - y = \arccos (0)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x - y = \frac{π}{2}$

Schritt 3

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = \frac{π}{2} - x$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- y = \frac{π}{2} - x$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = \frac{π}{2} - x$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{π}{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \frac{π}{2} + \frac{- x}{- 1}$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{π}{2}$ als $- \frac{π}{2}$ um.

$y = - \frac{π}{2} + \frac{- x}{- 1}$

Schritt 4.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - \frac{π}{2} + \frac{x}{1}$

Schritt 4.3.1.4

Dividiere $x$ durch $1$ .

$y = - \frac{π}{2} + x$

Schritt 5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x - y = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 6.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x - y = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x - y = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x - y = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x - y = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 6.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x - y = \frac{3 π}{2}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = \frac{3 π}{2} - x$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $- y = \frac{3 π}{2} - x$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = \frac{3 π}{2} - x$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\frac{3 π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{\frac{3 π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Schritt 6.3.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{3 π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{3 π}{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \frac{3 π}{2} + \frac{- x}{- 1}$

Schritt 6.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{3 π}{2}$ als $- \frac{3 π}{2}$ um.

$y = - \frac{3 π}{2} + \frac{- x}{- 1}$

Schritt 6.3.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - \frac{3 π}{2} + \frac{x}{1}$

Schritt 6.3.3.1.4

Dividiere $x$ durch $1$ .

$y = - \frac{3 π}{2} + x$

Schritt 7

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{3 π}{2} + y$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{3 π}{2} + y = x$ um.

$- \frac{3 π}{2} + y = x$

Schritt 8.2

Addiere $\frac{3 π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = x + \frac{3 π}{2}$

Schritt 9

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x + \frac{3 π}{2}$

Schritt 10

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x + \frac{3 π}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \frac{3 π}{2} + x$ ist.

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Schritt 10.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 10.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 10.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 10.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \frac{3 π}{2} + x)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3 π}{2} + x) = (- \frac{3 π}{2} + x) + \frac{3 π}{2}$

Schritt 10.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(- \frac{3 π}{2} + x) + \frac{3 π}{2}$ .

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Schritt 10.2.3.1

Addiere $- \frac{3 π}{2}$ und $\frac{3 π}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3 π}{2} + x) = x + 0$

Schritt 10.2.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{3 π}{2} + x) = x$

Schritt 10.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 10.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 10.3.2

Berechne $f (x + \frac{3 π}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x + \frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + x + \frac{3 π}{2}$

Schritt 10.3.3

Entferne die Klammern.

$f (x + \frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + x + \frac{3 π}{2}$

Schritt 10.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- \frac{3 π}{2} + x + \frac{3 π}{2}$ .

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Schritt 10.3.4.1

Addiere $- \frac{3 π}{2}$ und $\frac{3 π}{2}$ .

$f (x + \frac{3 π}{2}) = x + 0$

Schritt 10.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (x + \frac{3 π}{2}) = x$

Schritt 10.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x + \frac{3 π}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \frac{3 π}{2} + x$ .

$f^{- 1} (x) = x + \frac{3 π}{2}$