Trigonometrie Beispiele

$\cos (\arccos (u))$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$u = \cos (\arccos (y))$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\cos (\arccos (y)) = u$ um.

$\cos (\arccos (y)) = u$

Schritt 2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $\arccos (y)$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\arccos (y) = \arccos (u)$

Schritt 2.3

Wende den inversen Arcuskosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Arcuskosinus herauszuziehen.

$y = \cos (\arccos (u))$

Schritt 2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.1

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$y = u$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (u)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (u) = u$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (u) = u$ die Umkehrfunktion von $f (u) = \cos (\arccos (u))$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (u)) = u$ ist und $f (f^{- 1} (u)) = u$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (u))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (u))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\cos (\arccos (u)))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arccos (u))) = \cos (\arccos (u))$

Schritt 4.2.3

Entferne die Klammern.

$f^{- 1} (\cos (\arccos (u))) = \cos (\arccos (u))$

Schritt 4.2.4

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f^{- 1} (\cos (\arccos (u))) = u$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (u))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (u))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (u)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (u) = \cos (\arccos (u))$

Schritt 4.3.3

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f (u) = u$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (u)) = u$ und $f (f^{- 1} (u)) = u$ gleich sind, ist $f^{- 1} (u) = u$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (u) = \cos (\arccos (u))$ .

$f^{- 1} (u) = u$