Trigonometrie Beispiele

$\cos (4 x) - \sin (4 x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \cos (4 y) - \sin (4 y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\cos (4 y) - \sin (4 y) = x$ um.

$\cos (4 y) - \sin (4 y) = x$

Schritt 2.2

Wende die Identitätsgleichung an, um die Gleichung zu lösen. In dieser Identitätsgleichung stellt $θ$ den Winkel dar, der erzeugt wird durch Einzeichnen von Punkt $(a, b)$ auf einem Graphen und kann daher durch Anwenden von $θ = \arctan (\frac{b}{a})$ ermittelt werden.

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ , wobei $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ und $θ = \arctan (\frac{b}{a})$

Schritt 2.3

Stelle die Gleichung auf, um den Wert von $θ$ zu finden.

$\arctan (\frac{1}{- 1})$

Schritt 2.4

Wende den inversen Tangens an, um die Gleichung nach $θ$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$θ = \arctan (- 1)$

Schritt 2.4.2

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Schritt 2.5

Löse, um den Wert von $R$ zu ermitteln.

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Schritt 2.5.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$R = \sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Schritt 2.5.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$R = \sqrt{1 + 1}$

Schritt 2.5.3

Addiere $1$ und $1$ .

$R = \sqrt{2}$

Schritt 2.6

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$(\sqrt{2}) \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$

Schritt 2.7

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$ durch $\sqrt{2}$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$ durch $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 2.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.7.2.1.2

Dividiere $\sin (4 y - \frac{π}{4})$ durch $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.7.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.7.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.7.3.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 2.7.3.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 2.7.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.7.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.7.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.7.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.7.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.7.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.7.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.7.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 2.7.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.8

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$4 y - \frac{π}{4} = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})$

Schritt 2.9

Addiere $\frac{π}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$

Schritt 2.10

Teile jeden Ausdruck in $4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Schritt 2.10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.10.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Schritt 2.10.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Schritt 2.10.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.10.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 2.10.3.1.2

Multipliziere $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 2.10.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.10.3.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \cos (4 x) - \sin (4 x)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x)) = \frac{\arcsin (\frac{(\cos (4 x) - \sin (4 x)) \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Schritt 4.2.3

Stelle die Faktoren in $\frac{\arcsin (\frac{(\cos (4 x) - \sin (4 x)) \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ um.

$f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x)) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2} (\cos (4 x) - \sin (4 x))}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 4.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 (4)})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Schritt 4.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 \cdot 4})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Schritt 4.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Schritt 4.3.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16}))$

Schritt 4.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16}))$

Schritt 4.3.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{16}))$

Schritt 4.3.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.6.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 (4)}))$

Schritt 4.3.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 \cdot 4}))$

Schritt 4.3.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4})$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \cos (4 x) - \sin (4 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$