Trigonometrie Beispiele

$\cos (30 - x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \cos (30 - y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\cos (30 - y) = x$ um.

$\cos (30 - y) = x$

Schritt 2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$30 - y = \arccos (x)$

Schritt 2.3

Subtrahiere $30$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = \arccos (x) - 30$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $- y = \arccos (x) - 30$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = \arccos (x) - 30$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\arccos (x)}{- 1} + \frac{- 30}{- 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{\arccos (x)}{- 1} + \frac{- 30}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arccos (x)}{- 1} + \frac{- 30}{- 1}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\arccos (x)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \arccos (x) + \frac{- 30}{- 1}$

Schritt 2.4.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \arccos (x)$ als $- \arccos (x)$ um.

$y = - \arccos (x) + \frac{- 30}{- 1}$

Schritt 2.4.3.1.3

Dividiere $- 30$ durch $- 1$ .

$y = - \arccos (x) + 30$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \arccos (x) + 30$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \arccos (x) + 30$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \cos (30 - x)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\cos (30 - x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (30 - x)) = - \arccos (\cos (30 - x)) + 30$

Schritt 4.2.3

Stelle $30$ und $- x$ um.

$f^{- 1} (\cos (30 - x)) = - \arccos (\cos (- x + 30)) + 30$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- \arccos (x) + 30)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \arccos (x) + 30) = \cos (30 - (- \arccos (x) + 30))$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \arccos (x) + 30) = \cos (30 + \arccos (x) - 1 \cdot 30)$

Schritt 4.3.3.2

Multipliziere $- - \arccos (x)$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \arccos (x) + 30) = \cos (30 + 1 \arccos (x) - 1 \cdot 30)$

Schritt 4.3.3.2.2

Mutltipliziere $\arccos (x)$ mit $1$ .

$f (- \arccos (x) + 30) = \cos (30 + \arccos (x) - 1 \cdot 30)$

Schritt 4.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $30$ .

$f (- \arccos (x) + 30) = \cos (30 + \arccos (x) - 30)$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $30 + \arccos (x) - 30$ .

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $30$ von $30$ .

$f (- \arccos (x) + 30) = \cos (0 + \arccos (x))$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $0$ und $\arccos (x)$ .

$f (- \arccos (x) + 30) = \cos (\arccos (x))$

Schritt 4.3.5

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f (- \arccos (x) + 30) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \arccos (x) + 30$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \cos (30 - x)$ .

$f^{- 1} (x) = - \arccos (x) + 30$