Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \frac{5}{2} x - 5$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{5}{2} x - 5$ als Gleichung.

$y = \frac{5}{2} x - 5$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{5}{2} y - 5$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{5}{2} y - 5 = x$ um.

$\frac{5}{2} y - 5 = x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $y$ .

$\frac{5 y}{2} - 5 = x$

Schritt 3.3

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{5 y}{2} = x + 5$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 y}{2} = \frac{2}{5} (x + 5)$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Vereinfache $\frac{2}{5} \cdot \frac{5 y}{2}$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 y}{2} = \frac{2}{5} (x + 5)$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} (5 y) = \frac{2}{5} (x + 5)$

Schritt 3.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.5.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 y$ heraus.

$\frac{1}{5} (5 (y)) = \frac{2}{5} (x + 5)$

Schritt 3.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5} (5 y) = \frac{2}{5} (x + 5)$

Schritt 3.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2}{5} (x + 5)$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $\frac{2}{5} (x + 5)$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot 5$

Schritt 3.5.2.1.2

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot 5$

Schritt 3.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.5.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot 5$

Schritt 3.5.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2 x}{5} + 2$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5} + 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5} + 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{5}{2} x - 5$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{5}{2} x - 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x - 5) = \frac{2 (\frac{5}{2} x - 5)}{5} + 2$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x - 5) = \frac{2 (\frac{5 x}{2} - 5)}{5} + 2$

Schritt 5.2.3.1.2

Faktorisiere $5$ aus $\frac{5 x}{2} - 5$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $\frac{5 x}{2}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x - 5) = \frac{2 (5 (\frac{x}{2}) - 5)}{5} + 2$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x - 5) = \frac{2 (5 (\frac{x}{2}) + 5 (- 1))}{5} + 2$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Faktorisiere $5$ aus $5 \frac{x}{2} + 5 (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x - 5) = \frac{2 (5 (\frac{x}{2} - 1))}{5} + 2$

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x - 5) = \frac{2 \cdot (5 (\frac{x}{2} - 1))}{5} + 2$

Schritt 5.2.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x - 5) = \frac{10 (\frac{x}{2} - 1)}{5} + 2$

Schritt 5.2.3.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x - 5) = \frac{10 (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}{5} + 2$

Schritt 5.2.3.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x - 5) = \frac{10 (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}{5} + 2$

Schritt 5.2.3.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x - 5) = \frac{10 (\frac{x - 1 \cdot 2}{2})}{5} + 2$

Schritt 5.2.3.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x - 5) = \frac{10 (\frac{x - 2}{2})}{5} + 2$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $10$ und $\frac{x - 2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x - 5) = \frac{\frac{10 (x - 2)}{2}}{5} + 2$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{10 (x - 2)}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10 (x - 2)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x - 5) = \frac{\frac{2 (5 (x - 2))}{2}}{5} + 2$

Schritt 5.2.3.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x - 5) = \frac{\frac{2 (5 (x - 2))}{2 (1)}}{5} + 2$

Schritt 5.2.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x - 5) = \frac{\frac{2 (5 (x - 2))}{2 \cdot 1}}{5} + 2$

Schritt 5.2.3.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x - 5) = \frac{\frac{5 (x - 2)}{1}}{5} + 2$

Schritt 5.2.3.3.2

Dividiere $5 (x - 2)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x - 5) = \frac{5 (x - 2)}{5} + 2$

Schritt 5.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x - 5) = \frac{5 (x - 2)}{5} + 2$

Schritt 5.2.3.4.2

Dividiere $x - 2$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x - 5) = x - 2 + 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x - 5) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x - 5) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{2 x}{5} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{2 x}{5} + 2) = \frac{5}{2} \cdot (\frac{2 x}{5} + 2) - 5$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 x}{5} + 2) = \frac{5}{2} \cdot \frac{2 x}{5} + \frac{5}{2} \cdot 2 - 5$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x}{5} + 2) = \frac{5}{2} \cdot \frac{2 x}{5} + \frac{5}{2} \cdot 2 - 5$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 x}{5} + 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{5}{2} \cdot 2 - 5$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (\frac{2 x}{5} + 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{5}{2} \cdot 2 - 5$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x}{5} + 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{5}{2} \cdot 2 - 5$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 x}{5} + 2) = x + \frac{5}{2} \cdot 2 - 5$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x}{5} + 2) = x + \frac{5}{2} \cdot 2 - 5$

Schritt 5.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 x}{5} + 2) = x + 5 - 5$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 5 - 5$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (\frac{2 x}{5} + 2) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{2 x}{5} + 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5} + 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{5}{2} x - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5} + 2$