Trigonometrie Beispiele

$f (x) = - \frac{5}{2} x + 10$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - \frac{5}{2} x + 10$ als Gleichung.

$y = - \frac{5}{2} x + 10$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{5}{2} y + 10$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{5}{2} y + 10 = x$ um.

$- \frac{5}{2} y + 10 = x$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $y$ und $\frac{5}{2}$ .

$- \frac{y \cdot 5}{2} + 10 = x$

Schritt 3.2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $y$ .

$- \frac{5 y}{2} + 10 = x$

Schritt 3.3

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{5 y}{2} = x - 10$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{2}{5}$ .

$- \frac{2}{5} (- \frac{5 y}{2}) = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Vereinfache $- \frac{2}{5} (- \frac{5 y}{2})$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{5}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{5} (- \frac{5 y}{2}) = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 y}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{5} \cdot \frac{- 5 y}{2} = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Schritt 3.5.1.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 y}{2} = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Schritt 3.5.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 y}{2} = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Schritt 3.5.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{5} (- 5 y) = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Schritt 3.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.5.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 y$ heraus.

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Schritt 3.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Schritt 3.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Schritt 3.5.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.5.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Schritt 3.5.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $- \frac{2}{5} (x - 10)$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{2}{5} x - \frac{2}{5} \cdot - 10$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} - \frac{2}{5} \cdot - 10$

Schritt 3.5.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{5}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot - 10$

Schritt 3.5.2.1.1.3.2

Faktorisiere $5$ aus $- 10$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 (- 2))$

Schritt 3.5.2.1.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot - 2)$

Schritt 3.5.2.1.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.5.2.1.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + 4$

Schritt 3.5.2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{5} + 4$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{5} + 4$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \frac{5}{2} x + 10$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (- \frac{5}{2} x + 10)}{5} + 4$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{5}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (- \frac{x \cdot 5}{2} + 10)}{5} + 4$

Schritt 5.2.3.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (- \frac{5 \cdot x}{2} + 10)}{5} + 4$

Schritt 5.2.3.1.3

Faktorisiere $5$ aus $- \frac{5 x}{2} + 10$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.3.1

Faktorisiere $5$ aus $- \frac{5 x}{2}$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (5 (- \frac{x}{2}) + 10)}{5} + 4$

Schritt 5.2.3.1.3.2

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (5 (- \frac{x}{2}) + 5 (2))}{5} + 4$

Schritt 5.2.3.1.3.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (- \frac{x}{2}) + 5 (2)$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (5 (- \frac{x}{2} + 2))}{5} + 4$

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 \cdot (5 (- \frac{x}{2} + 2))}{5} + 4$

Schritt 5.2.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{10 (- \frac{x}{2} + 2)}{5} + 4$

Schritt 5.2.3.1.5

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{10 (- \frac{x}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}{5} + 4$

Schritt 5.2.3.1.6

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{10 (- \frac{x}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}{5} + 4$

Schritt 5.2.3.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{10 (\frac{- x + 2 \cdot 2}{2})}{5} + 4$

Schritt 5.2.3.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{10 (\frac{- x + 4}{2})}{5} + 4$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $10$ und $\frac{- x + 4}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{\frac{10 (- x + 4)}{2}}{5} + 4$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{10 (- x + 4)}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10 (- x + 4)$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{\frac{2 (5 (- x + 4))}{2}}{5} + 4$

Schritt 5.2.3.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{\frac{2 (5 (- x + 4))}{2 (1)}}{5} + 4$

Schritt 5.2.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{\frac{2 (5 (- x + 4))}{2 \cdot 1}}{5} + 4$

Schritt 5.2.3.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{\frac{5 (- x + 4)}{1}}{5} + 4$

Schritt 5.2.3.3.2

Dividiere $5 (- x + 4)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{5 (- x + 4)}{5} + 4$

Schritt 5.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{5 (- x + 4)}{5} + 4$

Schritt 5.2.3.4.2

Dividiere $- x + 4$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - (- x + 4) + 4$

Schritt 5.2.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = x - 1 \cdot 4 + 4$

Schritt 5.2.3.6

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = 1 x - 1 \cdot 4 + 4$

Schritt 5.2.3.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = x - 1 \cdot 4 + 4$

Schritt 5.2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = x - 4 + 4$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 4 + 4$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{2 x}{5} + 4)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{2 x}{5} + 4) + 10$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{2 x}{5}) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{2}$ in den Zähler.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{- 5}{2} \cdot (- \frac{2 x}{5}) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Schritt 5.3.3.2.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 x}{5}$ in den Zähler.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{- 5}{2} \cdot \frac{- 2 x}{5} - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{5 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2 x}{5} - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Schritt 5.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{5 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2 x}{5} - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Schritt 5.3.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{- 1}{2} \cdot (- 2 x) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x)) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x)) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = - 1 (- x) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = 1 x - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Schritt 5.3.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Schritt 5.3.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{2}$ in den Zähler.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x + \frac{- 5}{2} \cdot 4 + 10$

Schritt 5.3.3.6.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x + \frac{- 5}{2} \cdot (2 (2)) + 10$

Schritt 5.3.3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x + \frac{- 5}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 10$

Schritt 5.3.3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x - 5 \cdot 2 + 10$

Schritt 5.3.3.7

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x - 10 + 10$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 10 + 10$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 10$ und $10$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{5} + 4$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \frac{5}{2} x + 10$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{5} + 4$