Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \frac{4 x}{3 x - 5}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{4 x}{3 x - 5}$ als Gleichung.

$y = \frac{4 x}{3 x - 5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{4 y}{3 y - 5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Gleichung mit $3 y - 5$ .

$(3 y - 5) (x) = (\frac{4 y}{3 y - 5}) (3 y - 5)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y x - 5 x = (\frac{4 y}{3 y - 5}) (3 y - 5)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y - 5$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 y x - 5 x = \frac{4 y}{3 y - 5} (3 y - 5)$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 y x - 5 x = 4 y$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y x - 5 x - 4 y = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $5 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y x - 4 y = 5 x$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $3 y x - 4 y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $3 y x$ heraus.

$y (3 x) - 4 y = 5 x$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 4 y$ heraus.

$y (3 x) + y \cdot - 4 = 5 x$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (3 x) + y \cdot - 4$ heraus.

$y (3 x - 4) = 5 x$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (3 x - 4) = 5 x$ durch $3 x - 4$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (3 x - 4) = 5 x$ durch $3 x - 4$ .

$\frac{y (3 x - 4)}{3 x - 4} = \frac{5 x}{3 x - 4}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 4$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (3 x - 4)}{3 x - 4} = \frac{5 x}{3 x - 4}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{5 x}{3 x - 4}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 x - 4}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 x - 4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{4 x}{3 x - 5}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5}) = \frac{5 (\frac{4 x}{3 x - 5})}{3 (\frac{4 x}{3 x - 5}) - 4}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{4 x}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{4 x}{3 x - 5}) - 4}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Multipliziere $3 \frac{4 x}{3 x - 5}$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Kombiniere $3$ und $\frac{4 x}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{3 x - 5}}{\frac{3 (4 x)}{3 x - 5} - 4}$

Schritt 5.2.4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{3 x - 5}}{\frac{12 x}{3 x - 5} - 4}$

Schritt 5.2.4.2

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{3 x - 5}}{\frac{12 x}{3 x - 5} - 4 \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5}}$

Schritt 5.2.4.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{3 x - 5}}{\frac{12 x}{3 x - 5} + \frac{- 4 (3 x - 5)}{3 x - 5}}$

Schritt 5.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{3 x - 5}}{\frac{12 x - 4 (3 x - 5)}{3 x - 5}}$

Schritt 5.2.4.5

Schreibe $\frac{12 x - 4 (3 x - 5)}{3 x - 5}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.4.5.1

Faktorisiere $4$ aus $12 x - 4 (3 x - 5)$ heraus.

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Schritt 5.2.4.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{3 x - 5}}{\frac{4 (3 x) - 4 (3 x - 5)}{3 x - 5}}$

Schritt 5.2.4.5.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 (3 x - 5)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{3 x - 5}}{\frac{4 (3 x) + 4 (- (3 x - 5))}{3 x - 5}}$

Schritt 5.2.4.5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (3 x) + 4 (- (3 x - 5))$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{3 x - 5}}{\frac{4 (3 x - (3 x - 5))}{3 x - 5}}$

Schritt 5.2.4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{3 x - 5}}{\frac{4 (3 x - (3 x) + 5)}{3 x - 5}}$

Schritt 5.2.4.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{3 x - 5}}{\frac{4 (3 x - 3 x + 5)}{3 x - 5}}$

Schritt 5.2.4.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{3 x - 5}}{\frac{4 (3 x - 3 x + 5)}{3 x - 5}}$

Schritt 5.2.4.5.5

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{3 x - 5}}{\frac{4 (0 + 5)}{3 x - 5}}$

Schritt 5.2.4.5.6

Addiere $0$ und $5$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{3 x - 5}}{\frac{4 \cdot 5}{3 x - 5}}$

Schritt 5.2.4.6

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{3 x - 5}}{\frac{20}{3 x - 5}}$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{20 x}{3 x - 5}}{\frac{20}{3 x - 5}}$

Schritt 5.2.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5}) = \frac{20 x}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{20}$

Schritt 5.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 5.2.7.1

Faktorisiere $20$ aus $20 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5}) = \frac{20 (x)}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{20}$

Schritt 5.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5}) = \frac{20 x}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{20}$

Schritt 5.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5}) = \frac{x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 5$ .

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Schritt 5.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5}) = \frac{x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$

Schritt 5.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{3 x - 5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{5 x}{3 x - 4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{5 x}{3 x - 4}) = \frac{4 (\frac{5 x}{3 x - 4})}{3 (\frac{5 x}{3 x - 4}) - 5}$

Schritt 5.3.3

Kombiniere $4$ und $\frac{5 x}{3 x - 4}$ .

$f (\frac{5 x}{3 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{3 x - 4}}{3 (\frac{5 x}{3 x - 4}) - 5}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Multipliziere $3 \frac{5 x}{3 x - 4}$ .

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Schritt 5.3.4.1.1

Kombiniere $3$ und $\frac{5 x}{3 x - 4}$ .

$f (\frac{5 x}{3 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{3 x - 4}}{\frac{3 (5 x)}{3 x - 4} - 5}$

Schritt 5.3.4.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f (\frac{5 x}{3 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{3 x - 4}}{\frac{15 x}{3 x - 4} - 5}$

Schritt 5.3.4.2

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ .

$f (\frac{5 x}{3 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{3 x - 4}}{\frac{15 x}{3 x - 4} - 5 \cdot \frac{3 x - 4}{3 x - 4}}$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ .

$f (\frac{5 x}{3 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{3 x - 4}}{\frac{15 x}{3 x - 4} + \frac{- 5 (3 x - 4)}{3 x - 4}}$

Schritt 5.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5 x}{3 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{3 x - 4}}{\frac{15 x - 5 (3 x - 4)}{3 x - 4}}$

Schritt 5.3.4.5

Schreibe $\frac{15 x - 5 (3 x - 4)}{3 x - 4}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.5.1

Faktorisiere $5$ aus $15 x - 5 (3 x - 4)$ heraus.

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Schritt 5.3.4.5.1.1

Faktorisiere $5$ aus $15 x$ heraus.

$f (\frac{5 x}{3 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{3 x - 4}}{\frac{5 (3 x) - 5 (3 x - 4)}{3 x - 4}}$

Schritt 5.3.4.5.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5 (3 x - 4)$ heraus.

$f (\frac{5 x}{3 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{3 x - 4}}{\frac{5 (3 x) + 5 (- (3 x - 4))}{3 x - 4}}$

Schritt 5.3.4.5.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (3 x) + 5 (- (3 x - 4))$ heraus.

$f (\frac{5 x}{3 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{3 x - 4}}{\frac{5 (3 x - (3 x - 4))}{3 x - 4}}$

Schritt 5.3.4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5 x}{3 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{3 x - 4}}{\frac{5 (3 x - (3 x) + 4)}{3 x - 4}}$

Schritt 5.3.4.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (\frac{5 x}{3 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{3 x - 4}}{\frac{5 (3 x - 3 x + 4)}{3 x - 4}}$

Schritt 5.3.4.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f (\frac{5 x}{3 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{3 x - 4}}{\frac{5 (3 x - 3 x + 4)}{3 x - 4}}$

Schritt 5.3.4.5.5

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$f (\frac{5 x}{3 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{3 x - 4}}{\frac{5 (0 + 4)}{3 x - 4}}$

Schritt 5.3.4.5.6

Addiere $0$ und $4$ .

$f (\frac{5 x}{3 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{3 x - 4}}{\frac{5 \cdot 4}{3 x - 4}}$

Schritt 5.3.4.6

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$f (\frac{5 x}{3 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{3 x - 4}}{\frac{20}{3 x - 4}}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f (\frac{5 x}{3 x - 4}) = \frac{\frac{20 x}{3 x - 4}}{\frac{20}{3 x - 4}}$

Schritt 5.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{5 x}{3 x - 4}) = \frac{20 x}{3 x - 4} \cdot \frac{3 x - 4}{20}$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 5.3.7.1

Faktorisiere $20$ aus $20 x$ heraus.

$f (\frac{5 x}{3 x - 4}) = \frac{20 (x)}{3 x - 4} \cdot \frac{3 x - 4}{20}$

Schritt 5.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x}{3 x - 4}) = \frac{20 x}{3 x - 4} \cdot \frac{3 x - 4}{20}$

Schritt 5.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x}{3 x - 4}) = \frac{x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4)$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x}{3 x - 4}) = \frac{x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4)$

Schritt 5.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x}{3 x - 4}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 x - 4}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{4 x}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 x - 4}$