Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$ als Gleichung.

$y = \frac{4}{x - 2} + 1$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{4}{y - 2} + 1$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{4}{y - 2} + 1 = x$ um.

$\frac{4}{y - 2} + 1 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{4}{y - 2} = x - 1$

Schritt 3.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y - 2, 1, 1$

Schritt 3.3.2

Entferne die Klammern.

$y - 2, 1, 1$

Schritt 3.3.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y - 2$

Schritt 3.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{4}{y - 2} = x - 1$ mit $y - 2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{4}{y - 2} = x - 1$ mit $y - 2$ .

$\frac{4}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2) - (y - 2)$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2) - (y - 2)$

Schritt 3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 = x (y - 2) - (y - 2)$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 = x y + x \cdot - 2 - (y - 2)$

Schritt 3.4.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 = x y - 2 \cdot x - (y - 2)$

Schritt 3.4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 = x y - 2 x - y - - 2$

Schritt 3.4.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$4 = x y - 2 x - y + 2$

Schritt 3.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $x y - 2 x - y + 2 = 4$ um.

$x y - 2 x - y + 2 = 4$

Schritt 3.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y - y + 2 = 4 + 2 x$

Schritt 3.5.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y - y = 4 + 2 x - 2$

Schritt 3.5.2.3

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$x y - y = 2 x + 2$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $y$ aus $x y - y$ heraus.

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Schritt 3.5.3.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$y x - y = 2 x + 2$

Schritt 3.5.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y x + y \cdot - 1 = 2 x + 2$

Schritt 3.5.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y x + y \cdot - 1$ heraus.

$y (x - 1) = 2 x + 2$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = 2 x + 2$ durch $x - 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = 2 x + 2$ durch $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2 x}{x - 1} + \frac{2}{x - 1}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2 x}{x - 1} + \frac{2}{x - 1}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2 x}{x - 1} + \frac{2}{x - 1}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 x + 2}{x - 1}$

Schritt 3.5.4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2$ heraus.

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Schritt 3.5.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = \frac{2 (x) + 2}{x - 1}$

Schritt 3.5.4.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{2 (x) + 2 (1)}{x - 1}$

Schritt 3.5.4.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (1)$ heraus.

$y = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 ((\frac{4}{x - 2} + 1) + 1)}{(\frac{4}{x - 2} + 1) - 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} + 1)}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4 + x - 2}{x - 2} + 1)}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4 + x - 2}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Schritt 5.2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4 + x - 2 + x - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Schritt 5.2.3.5

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{x + x + 4 - 2 - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Schritt 5.2.3.6

Schreibe $\frac{x + x + 4 - 2 - 2}{x - 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.3.6.1

Addiere $x$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x + 4 - 2 - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Schritt 5.2.3.6.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x + 2 - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Schritt 5.2.3.6.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x + 0}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Schritt 5.2.3.6.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} - 1}$

Schritt 5.2.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2}{x - 2} - 1}$

Schritt 5.2.4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2}{x - 2} - 1 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Schritt 5.2.4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2}{x - 2} + \frac{- (x - 2)}{x - 2}}$

Schritt 5.2.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2 - (x - 2)}{x - 2}}$

Schritt 5.2.4.6

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{x + 4 - 2 - (x - 2)}{x - 2}}$

Schritt 5.2.4.7

Schreibe $\frac{x + 4 - 2 - (x - 2)}{x - 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.4.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{x + 4 - 2 - x + 2}{x - 2}}$

Schritt 5.2.4.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{x + 4 - 2 - x + 2}{x - 2}}$

Schritt 5.2.4.7.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{0 + 4 - 2 + 2}{x - 2}}$

Schritt 5.2.4.7.4

Addiere $0$ und $4$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 - 2 + 2}{x - 2}}$

Schritt 5.2.4.7.5

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{2 + 2}{x - 2}}$

Schritt 5.2.4.7.6

Addiere $2$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2}}$

Schritt 5.2.5

Kombiniere $2$ und $\frac{2 x}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{\frac{2 (2 x)}{x - 2}}{\frac{4}{x - 2}}$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{\frac{4 x}{x - 2}}{\frac{4}{x - 2}}$

Schritt 5.2.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{4 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{4}$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.8.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{4 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{4}$

Schritt 5.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{4 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{4}$

Schritt 5.2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Schritt 5.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 5.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Schritt 5.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{4}{(\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) - 2} + 1$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $(\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) - 2$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 (2)}{(\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) - 2} + 1$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $\frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ heraus.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 (2)}{2 (\frac{x + 1}{x - 1}) - 2} + 1$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{x + 1}{x - 1}) + 2 \cdot - 1} + 1$

Schritt 5.3.3.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \frac{x + 1}{x - 1} + 2 (- 1)$ heraus.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 (2)}{2 (\frac{x + 1}{x - 1} - 1)} + 1$

Schritt 5.3.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{x + 1}{x - 1} - 1)} + 1$

Schritt 5.3.3.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1} + 1$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.3.2.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}} + 1$

Schritt 5.3.3.2.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}} + 1$

Schritt 5.3.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}} + 1$

Schritt 5.3.3.2.4

Schreibe $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

Schritt 5.3.3.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

Schritt 5.3.3.2.4.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{0 + 1 + 1}{x - 1}} + 1$

Schritt 5.3.3.2.4.4

Addiere $0$ und $1$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{1 + 1}{x - 1}} + 1$

Schritt 5.3.3.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{2}{x - 1}} + 1$

Schritt 5.3.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

Schritt 5.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = x - 1 + 1$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$