Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}$ als Gleichung.

$y = \frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{- 3 y - 6}{5 y - 5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{- 3 y - 6}{5 y - 5} = x$ um.

$\frac{- 3 y - 6}{5 y - 5} = x$

Schritt 3.2

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 y - 6$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 y$ heraus.

$\frac{3 (- y) - 6}{5 y - 5} = x$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{3 (- y) + 3 (- 2)}{5 y - 5} = x$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- y) + 3 (- 2)$ heraus.

$\frac{3 (- y - 2)}{5 y - 5} = x$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $5$ aus $5 y - 5$ heraus.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 y$ heraus.

$\frac{3 (- y - 2)}{5 (y) - 5} = x$

Schritt 3.2.2.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$\frac{3 (- y - 2)}{5 (y) + 5 (- 1)} = x$

Schritt 3.2.2.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (y) + 5 (- 1)$ heraus.

$\frac{3 (- y - 2)}{5 (y - 1)} = x$

Schritt 3.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$5 (y - 1), 1$

Schritt 3.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$5 (y - 1)$

Schritt 3.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 (- y - 2)}{5 (y - 1)} = x$ mit $5 (y - 1)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 (- y - 2)}{5 (y - 1)} = x$ mit $5 (y - 1)$ .

$\frac{3 (- y - 2)}{5 (y - 1)} (5 (y - 1)) = x (5 (y - 1))$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 \frac{3 (- y - 2)}{5 (y - 1)} (y - 1) = x (5 (y - 1))$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{3 (- y - 2)}{5 (y - 1)} (y - 1) = x (5 (y - 1))$

Schritt 3.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (- y - 2)}{y - 1} (y - 1) = x (5 (y - 1))$

Schritt 3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 3.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- y - 2)}{y - 1} (y - 1) = x (5 (y - 1))$

Schritt 3.4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 (- y - 2) = x (5 (y - 1))$

Schritt 3.4.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (- y) + 3 \cdot - 2 = x (5 (y - 1))$

Schritt 3.4.2.5

Multipliziere.

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Schritt 3.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 y + 3 \cdot - 2 = x (5 (y - 1))$

Schritt 3.4.2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- 3 y - 6 = x (5 (y - 1))$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 3 y - 6 = 5 x (y - 1)$

Schritt 3.4.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 y - 6 = 5 x y + 5 x \cdot - 1$

Schritt 3.4.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 3 y - 6 = 5 x y - 5 x$

Schritt 3.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $5 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y - 6 - 5 x y = - 5 x$

Schritt 3.5.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y - 5 x y = - 5 x + 6$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $y$ aus $- 3 y - 5 x y$ heraus.

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Schritt 3.5.3.1

Faktorisiere $y$ aus $- 3 y$ heraus.

$y \cdot - 3 - 5 x y = - 5 x + 6$

Schritt 3.5.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 5 x y$ heraus.

$y \cdot - 3 + y (- 5 x) = - 5 x + 6$

Schritt 3.5.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot - 3 + y (- 5 x)$ heraus.

$y (- 3 - 5 x) = - 5 x + 6$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y (- 3 - 5 x) = - 5 x + 6$ durch $- 3 - 5 x$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (- 3 - 5 x) = - 5 x + 6$ durch $- 3 - 5 x$ .

$\frac{y (- 3 - 5 x)}{- 3 - 5 x} = \frac{- 5 x}{- 3 - 5 x} + \frac{6}{- 3 - 5 x}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3 - 5 x$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (- 3 - 5 x)}{- 3 - 5 x} = \frac{- 5 x}{- 3 - 5 x} + \frac{6}{- 3 - 5 x}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 5 x}{- 3 - 5 x} + \frac{6}{- 3 - 5 x}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 5 x + 6}{- 3 - 5 x}$

Schritt 3.5.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x$ heraus.

$y = \frac{- (5 x) + 6}{- 3 - 5 x}$

Schritt 3.5.4.3.3

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$y = \frac{- (5 x) - 1 (- 6)}{- 3 - 5 x}$

Schritt 3.5.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x) - 1 (- 6)$ heraus.

$y = \frac{- (5 x - 6)}{- 3 - 5 x}$

Schritt 3.5.4.3.5

Schreibe $- (5 x - 6)$ als $- 1 (5 x - 6)$ um.

$y = \frac{- 1 (5 x - 6)}{- 3 - 5 x}$

Schritt 3.5.4.3.6

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y = \frac{- 1 (5 x - 6)}{- 1 (3) - 5 x}$

Schritt 3.5.4.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x$ heraus.

$y = \frac{- 1 (5 x - 6)}{- 1 (3) - (5 x)}$

Schritt 3.5.4.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (5 x)$ heraus.

$y = \frac{- 1 (5 x - 6)}{- 1 (3 + 5 x)}$

Schritt 3.5.4.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 1 (5 x - 6)}{- 1 (3 + 5 x)}$

Schritt 3.5.4.3.10

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{5 x - 6}{3 + 5 x}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 6}{3 + 5 x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 6}{3 + 5 x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{5 (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) - 6}{3 + 5 (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5})}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x - 6$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{5 (\frac{3 (- x) - 6}{5 x - 5}) - 6}{3 + 5 (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5})}$

Schritt 5.2.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{5 (\frac{3 (- x) + 3 (- 2)}{5 x - 5}) - 6}{3 + 5 (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5})}$

Schritt 5.2.3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x) + 3 (- 2)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 x - 5}) - 6}{3 + 5 (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5})}$

Schritt 5.2.3.2

Faktorisiere $5$ aus $5 x - 5$ heraus.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x) - 5}) - 6}{3 + 5 (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5})}$

Schritt 5.2.3.2.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x) + 5 (- 1)}) - 6}{3 + 5 (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5})}$

Schritt 5.2.3.2.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (x) + 5 (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)}) - 6}{3 + 5 (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5})}$

Schritt 5.2.3.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x - 6$ heraus.

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Schritt 5.2.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)}) - 6}{3 + 5 (\frac{3 (- x) - 6}{5 x - 5})}$

Schritt 5.2.3.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)}) - 6}{3 + 5 (\frac{3 (- x) + 3 (- 2)}{5 x - 5})}$

Schritt 5.2.3.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x) + 3 (- 2)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)}) - 6}{3 + 5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 x - 5})}$

Schritt 5.2.3.4

Faktorisiere $5$ aus $5 x - 5$ heraus.

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Schritt 5.2.3.4.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)}) - 6}{3 + 5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x) - 5})}$

Schritt 5.2.3.4.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)}) - 6}{3 + 5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x) + 5 (- 1)})}$

Schritt 5.2.3.4.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (x) + 5 (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)}) - 6}{3 + 5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)})}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)}) - 6}{3 + 5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)})}$

Schritt 5.2.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{\frac{3 (- x - 2)}{x - 1} - 6}{3 + 5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)})}$

Schritt 5.2.4.2

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{\frac{3 (- x - 2)}{x - 1} - 6 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}{3 + 5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)})}$

Schritt 5.2.4.3

Kombiniere $- 6$ und $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{\frac{3 (- x - 2)}{x - 1} + \frac{- 6 (x - 1)}{x - 1}}{3 + 5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)})}$

Schritt 5.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{\frac{3 (- x - 2) - 6 (x - 1)}{x - 1}}{3 + 5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)})}$

Schritt 5.2.4.5

Schreibe $\frac{3 (- x - 2) - 6 (x - 1)}{x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.4.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x - 2) - 6 (x - 1)$ heraus.

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Schritt 5.2.4.5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 (x - 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{\frac{3 (- x - 2) + 3 (- 2 (x - 1))}{x - 1}}{3 + 5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)})}$

Schritt 5.2.4.5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x - 2) + 3 (- 2 (x - 1))$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{\frac{3 (- x - 2 - 2 (x - 1))}{x - 1}}{3 + 5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)})}$

Schritt 5.2.4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{\frac{3 (- x - 2 - 2 x - 2 \cdot - 1)}{x - 1}}{3 + 5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)})}$

Schritt 5.2.4.5.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{\frac{3 (- x - 2 - 2 x + 2)}{x - 1}}{3 + 5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)})}$

Schritt 5.2.4.5.4

Subtrahiere $2 x$ von $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{\frac{3 (- 3 x - 2 + 2)}{x - 1}}{3 + 5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)})}$

Schritt 5.2.4.5.5

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{\frac{3 (- 3 x + 0)}{x - 1}}{3 + 5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)})}$

Schritt 5.2.4.5.6

Addiere $- 3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{\frac{3 \cdot (- 3 x)}{x - 1}}{3 + 5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)})}$

Schritt 5.2.4.5.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{\frac{- 9 x}{x - 1}}{3 + 5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)})}$

Schritt 5.2.4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{- \frac{9 x}{x - 1}}{3 + 5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)})}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{- \frac{9 x}{x - 1}}{3 + 5 (\frac{3 (- x - 2)}{5 (x - 1)})}$

Schritt 5.2.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{- \frac{9 x}{x - 1}}{3 + \frac{3 (- x - 2)}{x - 1}}$

Schritt 5.2.5.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{- \frac{9 x}{x - 1}}{\frac{3 (x - 1)}{x - 1} + \frac{3 (- x - 2)}{x - 1}}$

Schritt 5.2.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{- \frac{9 x}{x - 1}}{\frac{3 (x - 1) + 3 (- x - 2)}{x - 1}}$

Schritt 5.2.5.4

Schreibe $\frac{3 (x - 1) + 3 (- x - 2)}{x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.5.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 (x - 1) + 3 (- x - 2)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{- \frac{9 x}{x - 1}}{\frac{3 (x - 1 - x - 2)}{x - 1}}$

Schritt 5.2.5.4.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{- \frac{9 x}{x - 1}}{\frac{3 (0 - 1 - 2)}{x - 1}}$

Schritt 5.2.5.4.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{- \frac{9 x}{x - 1}}{\frac{3 (- 1 - 2)}{x - 1}}$

Schritt 5.2.5.4.4

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{- \frac{9 x}{x - 1}}{\frac{3 \cdot - 3}{x - 1}}$

Schritt 5.2.5.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{- \frac{9 x}{x - 1}}{\frac{- 9}{x - 1}}$

Schritt 5.2.5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{- \frac{9 x}{x - 1}}{- \frac{9}{x - 1}}$

Schritt 5.2.6

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{\frac{9 x}{x - 1}}{\frac{9}{x - 1}}$

Schritt 5.2.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{9 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{9}$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.2.8.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{9 (x)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{9}$

Schritt 5.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{9 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{9}$

Schritt 5.2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1)$

Schritt 5.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 5.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1)$

Schritt 5.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{5 x - 6}{3 + 5 x} - 6}{5 (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) - 5}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 \frac{5 x - 6}{3 + 5 x} - 6$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1.1

Stelle $3$ und $5 x$ um.

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{5 x - 6}{5 x + 3} - 6}{5 (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) - 5}$

Schritt 5.3.3.1.2

Faktorisiere $- 3$ aus $- 6$ heraus.

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{5 x - 6}{5 x + 3} - 3 \cdot 2}{5 (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) - 5}$

Schritt 5.3.3.1.3

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (\frac{5 x - 6}{5 x + 3}) - 3 (2)$ heraus.

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 (\frac{5 x - 6}{5 x + 3} + 2)}{5 (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) - 5}$

Schritt 5.3.3.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5 x + 3}{5 x + 3}$ .

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 (\frac{5 x - 6}{5 x + 3} + \frac{2 (5 x + 3)}{5 x + 3})}{5 (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) - 5}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{5 x - 6 + 2 (5 x + 3)}{5 x + 3}}{5 (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) - 5}$

Schritt 5.3.3.4

Stelle die Terme um.

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{5 x + 2 (5 x + 3) - 6}{5 x + 3}}{5 (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) - 5}$

Schritt 5.3.3.5

Schreibe $\frac{5 x + 2 (5 x + 3) - 6}{5 x + 3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{5 x + 2 (5 x) + 2 \cdot 3 - 6}{5 x + 3}}{5 (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) - 5}$

Schritt 5.3.3.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{5 x + 10 x + 2 \cdot 3 - 6}{5 x + 3}}{5 (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) - 5}$

Schritt 5.3.3.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{5 x + 10 x + 6 - 6}{5 x + 3}}{5 (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) - 5}$

Schritt 5.3.3.5.4

Addiere $5 x$ und $10 x$ .

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{15 x + 6 - 6}{5 x + 3}}{5 (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) - 5}$

Schritt 5.3.3.5.5

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{15 x + 0}{5 x + 3}}{5 (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) - 5}$

Schritt 5.3.3.5.6

Addiere $15 x$ und $0$ .

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{15 x}{5 x + 3}}{5 (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) - 5}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \frac{5 x - 6}{3 + 5 x} - 5$ heraus.

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Schritt 5.3.4.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \frac{5 x - 6}{3 + 5 x}$ heraus.

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{15 x}{5 x + 3}}{5 (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) - 5}$

Schritt 5.3.4.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{15 x}{5 x + 3}}{5 (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) + 5 (- 1)}$

Schritt 5.3.4.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) + 5 (- 1)$ heraus.

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{15 x}{5 x + 3}}{5 (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x} - 1)}$

Schritt 5.3.4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 + 5 x}{3 + 5 x}$ .

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{15 x}{5 x + 3}}{5 (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x} - 1 \cdot \frac{3 + 5 x}{3 + 5 x})}$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3 + 5 x}{3 + 5 x}$ .

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{15 x}{5 x + 3}}{5 (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x} + \frac{- (3 + 5 x)}{3 + 5 x})}$

Schritt 5.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{15 x}{5 x + 3}}{5 (\frac{5 x - 6 - (3 + 5 x)}{3 + 5 x})}$

Schritt 5.3.4.5

Stelle die Terme um.

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{15 x}{5 x + 3}}{5 (\frac{5 x - 6 - (3 + 5 x)}{5 x + 3})}$

Schritt 5.3.4.6

Schreibe $\frac{5 x - 6 - (3 + 5 x)}{5 x + 3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{15 x}{5 x + 3}}{5 (\frac{5 x - 6 - 1 \cdot 3 - (5 x)}{5 x + 3})}$

Schritt 5.3.4.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{15 x}{5 x + 3}}{5 (\frac{5 x - 6 - 3 - (5 x)}{5 x + 3})}$

Schritt 5.3.4.6.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{15 x}{5 x + 3}}{5 (\frac{5 x - 6 - 3 - 5 x}{5 x + 3})}$

Schritt 5.3.4.6.4

Subtrahiere $5 x$ von $5 x$ .

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{15 x}{5 x + 3}}{5 (\frac{0 - 6 - 3}{5 x + 3})}$

Schritt 5.3.4.6.5

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{15 x}{5 x + 3}}{5 (\frac{- 6 - 3}{5 x + 3})}$

Schritt 5.3.4.6.6

Subtrahiere $3$ von $- 6$ .

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{15 x}{5 x + 3}}{5 (\frac{- 9}{5 x + 3})}$

Schritt 5.3.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{15 x}{5 x + 3}}{5 \cdot (- 1 \frac{9}{5 x + 3})}$

Schritt 5.3.4.8

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.3.4.8.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{15 x}{5 x + 3}}{- (5 (\frac{9}{5 x + 3}))}$

Schritt 5.3.4.8.2

Kombiniere $5$ und $\frac{9}{5 x + 3}$ .

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{15 x}{5 x + 3}}{- \frac{5 \cdot 9}{5 x + 3}}$

Schritt 5.3.4.8.3

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- 3 \frac{15 x}{5 x + 3}}{- \frac{45}{5 x + 3}}$

Schritt 5.3.5

Kombiniere $- 3$ und $\frac{15 x}{5 x + 3}$ .

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{\frac{- 3 (15 x)}{5 x + 3}}{- \frac{45}{5 x + 3}}$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $15$ .

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{\frac{- 45 x}{5 x + 3}}{- \frac{45}{5 x + 3}}$

Schritt 5.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{- \frac{45 x}{5 x + 3}}{- \frac{45}{5 x + 3}}$

Schritt 5.3.8

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{\frac{45 x}{5 x + 3}}{\frac{45}{5 x + 3}}$

Schritt 5.3.9

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{45 x}{5 x + 3} \cdot \frac{5 x + 3}{45}$

Schritt 5.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $45$ .

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Schritt 5.3.10.1

Faktorisiere $45$ aus $45 x$ heraus.

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{45 (x)}{5 x + 3} \cdot \frac{5 x + 3}{45}$

Schritt 5.3.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{45 x}{5 x + 3} \cdot \frac{5 x + 3}{45}$

Schritt 5.3.10.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{x}{5 x + 3} \cdot (5 x + 3)$

Schritt 5.3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 x + 3$ .

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Schritt 5.3.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = \frac{x}{5 x + 3} \cdot (5 x + 3)$

Schritt 5.3.11.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x - 6}{3 + 5 x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 6}{3 + 5 x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{- 3 x - 6}{5 x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 6}{3 + 5 x}$