Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \frac{3}{x - 2} + 2$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{3}{x - 2} + 2$ als Gleichung.

$y = \frac{3}{x - 2} + 2$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{3}{y - 2} + 2$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3}{y - 2} + 2 = x$ um.

$\frac{3}{y - 2} + 2 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3}{y - 2} = x - 2$

Schritt 3.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y - 2, 1, 1$

Schritt 3.3.2

Entferne die Klammern.

$y - 2, 1, 1$

Schritt 3.3.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y - 2$

Schritt 3.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{3}{y - 2} = x - 2$ mit $y - 2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3}{y - 2} = x - 2$ mit $y - 2$ .

$\frac{3}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2) - 2 (y - 2)$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2) - 2 (y - 2)$

Schritt 3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 = x (y - 2) - 2 (y - 2)$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 = x y + x \cdot - 2 - 2 (y - 2)$

Schritt 3.4.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 = x y - 2 \cdot x - 2 (y - 2)$

Schritt 3.4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 = x y - 2 x - 2 y - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.4.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$3 = x y - 2 x - 2 y + 4$

Schritt 3.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $x y - 2 x - 2 y + 4 = 3$ um.

$x y - 2 x - 2 y + 4 = 3$

Schritt 3.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y - 2 y + 4 = 3 + 2 x$

Schritt 3.5.2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y - 2 y = 3 + 2 x - 4$

Schritt 3.5.2.3

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$x y - 2 y = 2 x - 1$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $y$ aus $x y - 2 y$ heraus.

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Schritt 3.5.3.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$y x - 2 y = 2 x - 1$

Schritt 3.5.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y$ heraus.

$y x + y \cdot - 2 = 2 x - 1$

Schritt 3.5.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y x + y \cdot - 2$ heraus.

$y (x - 2) = 2 x - 1$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 2) = 2 x - 1$ durch $x - 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 2) = 2 x - 1$ durch $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{2 x}{x - 2} + \frac{- 1}{x - 2}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{2 x}{x - 2} + \frac{- 1}{x - 2}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2 x}{x - 2} + \frac{- 1}{x - 2}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 x - 1}{x - 2}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x - 1}{x - 2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{2 x - 1}{x - 2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{3}{x - 2} + 2$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{2 (\frac{3}{x - 2} + 2) - 1}{(\frac{3}{x - 2} + 2) - 2}$

Schritt 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 (\frac{3}{x - 2} + 2) - 1}{\frac{3}{x - 2} + 2 - 2}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{2 (\frac{3}{x - 2} + 2) - 1}{\frac{3}{x - 2} + 2 - 2}$

Schritt 5.2.3.2

Kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{3}{x - 2} + 2) - 1)}{(x - 2) (\frac{3}{x - 2} + 2 - 2)}$

Schritt 5.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{3}{x - 2} + 2)) + (x - 2) \cdot - 1}{(x - 2) (\frac{3}{x - 2}) + (x - 2) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{3}{x - 2} + 2)) + (x - 2) \cdot - 1}{(x - 2) (\frac{3}{x - 2}) + (x - 2) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{3}{x - 2} + 2)) + (x - 2) \cdot - 1}{3 + (x - 2) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) \cdot 2 (\frac{3}{x - 2} + 2) + (x - 2) \cdot - 1$ heraus.

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Schritt 5.2.6.1.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) \cdot 2 (\frac{3}{x - 2} + 2)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{3}{x - 2} + 2)) + (x - 2) \cdot - 1}{3 + (x - 2) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.1.2

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) \cdot - 1$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{3}{x - 2} + 2)) + (x - 2) (- 1)}{3 + (x - 2) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.1.3

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) (2 (\frac{3}{x - 2} + 2)) + (x - 2) (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{3}{x - 2} + 2) - 1)}{3 + (x - 2) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{3}{x - 2} + \frac{2 (x - 2)}{x - 2}) - 1)}{3 + (x - 2) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{3 + 2 (x - 2)}{x - 2}) - 1)}{3 + (x - 2) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{3 + 2 x + 2 \cdot - 2}{x - 2}) - 1)}{3 + (x - 2) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{3 + 2 x - 4}{x - 2}) - 1)}{3 + (x - 2) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.4.3

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{2 x - 1}{x - 2}) - 1)}{3 + (x - 2) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.5

Kombiniere $2$ und $\frac{2 x - 1}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (2 x - 1)}{x - 2} - 1)}{3 + (x - 2) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (2 x - 1)}{x - 2} - 1 \cdot \frac{x - 2}{x - 2})}{3 + (x - 2) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (2 x - 1)}{x - 2} + \frac{- (x - 2)}{x - 2})}{3 + (x - 2) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (2 x - 1) - (x - 2)}{x - 2})}{3 + (x - 2) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.9

Schreibe $\frac{2 (2 x - 1) - (x - 2)}{x - 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.6.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 1 - (x - 2)}{x - 2})}{3 + (x - 2) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (\frac{4 x + 2 \cdot - 1 - (x - 2)}{x - 2})}{3 + (x - 2) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.9.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (\frac{4 x - 2 - (x - 2)}{x - 2})}{3 + (x - 2) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.9.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (\frac{4 x - 2 - x + 2}{x - 2})}{3 + (x - 2) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.9.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (\frac{4 x - 2 - x + 2}{x - 2})}{3 + (x - 2) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.9.6

Subtrahiere $x$ von $4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x - 2 + 2}{x - 2})}{3 + (x - 2) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.9.7

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x + 0}{x - 2})}{3 + (x - 2) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.9.8

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{3 + (x - 2) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{3 + x \cdot 2 - 2 \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{3 + 2 \cdot x - 2 \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.7.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{3 + 2 \cdot x - 4 + (x - 2) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{3 + 2 x - 4 + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2}$

Schritt 5.2.7.5

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{3 + 2 x - 4 - 2 \cdot x - 2 \cdot - 2}$

Schritt 5.2.7.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{3 + 2 x - 4 - 2 \cdot x + 4}$

Schritt 5.2.7.7

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{2 x - 1 - 2 x + 4}$

Schritt 5.2.7.8

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{0 - 1 + 4}$

Schritt 5.2.7.9

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{- 1 + 4}$

Schritt 5.2.7.10

Addiere $- 1$ und $4$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{3}$

Schritt 5.2.8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.8.1

Faktorisiere $\frac{3 x}{x - 2}$ aus $\frac{(x - 2) \frac{3 x}{x - 2}}{3}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{3 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

Schritt 5.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{3 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

Schritt 5.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{3 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

Schritt 5.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Schritt 5.2.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 5.2.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Schritt 5.2.8.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 2} + 2) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{2 x - 1}{x - 2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = \frac{3}{(\frac{2 x - 1}{x - 2}) - 2} + 2$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.3.1.1

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{2 x - 1}{x - 2} - 2 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}} + 2$

Schritt 5.3.3.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{2 x - 1}{x - 2} + \frac{- 2 (x - 2)}{x - 2}} + 2$

Schritt 5.3.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{2 x - 1 - 2 (x - 2)}{x - 2}} + 2$

Schritt 5.3.3.1.4

Schreibe $\frac{2 x - 1 - 2 (x - 2)}{x - 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot - 2}{x - 2}} + 2$

Schritt 5.3.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{2 x - 1 - 2 x + 4}{x - 2}} + 2$

Schritt 5.3.3.1.4.3

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$f (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{0 - 1 + 4}{x - 2}} + 2$

Schritt 5.3.3.1.4.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{- 1 + 4}{x - 2}} + 2$

Schritt 5.3.3.1.4.5

Addiere $- 1$ und $4$ .

$f (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{3}{x - 2}} + 2$

Schritt 5.3.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = 3 (\frac{x - 2}{3}) + 2$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = 3 (\frac{x - 2}{3}) + 2$

Schritt 5.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = x - 2 + 2$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{2 x - 1}{x - 2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{2 x - 1}{x - 2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{3}{x - 2} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x - 1}{x - 2}$