Trigonometrie Beispiele

$f (x) = - \frac{3}{8} x^{7}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - \frac{3}{8} x^{7}$ als Gleichung.

$y = - \frac{3}{8} x^{7}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{3}{8} y^{7}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{3}{8} y^{7} = x$ um.

$- \frac{3}{8} y^{7} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{8}{3}$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} y^{7}) = - \frac{8}{3} x$

Schritt 3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} y^{7})$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kombiniere $y^{7}$ und $\frac{3}{8}$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{y^{7} \cdot 3}{8}) = - \frac{8}{3} x$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{8}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 8}{3} (- \frac{y^{7} \cdot 3}{8}) = - \frac{8}{3} x$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y^{7} \cdot 3}{8}$ in den Zähler.

$\frac{- 8}{3} \cdot \frac{- y^{7} \cdot 3}{8} = - \frac{8}{3} x$

Schritt 3.3.1.1.2.3

Faktorisiere $8$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{8 (- 1)}{3} \cdot \frac{- y^{7} \cdot 3}{8} = - \frac{8}{3} x$

Schritt 3.3.1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- y^{7} \cdot 3}{8} = - \frac{8}{3} x$

Schritt 3.3.1.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{3} (- y^{7} \cdot 3) = - \frac{8}{3} x$

Schritt 3.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- y^{7} \cdot 3$ heraus.

$\frac{- 1}{3} (3 \cdot (- y^{7})) = - \frac{8}{3} x$

Schritt 3.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{3} (3 \cdot (- y^{7})) = - \frac{8}{3} x$

Schritt 3.3.1.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- - y^{7} = - \frac{8}{3} x$

Schritt 3.3.1.1.4

Multipliziere.

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Schritt 3.3.1.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y^{7} = - \frac{8}{3} x$

Schritt 3.3.1.1.4.2

Mutltipliziere $y^{7}$ mit $1$ .

$y^{7} = - \frac{8}{3} x$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $- \frac{8}{3} x$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{8}{3}$ .

$y^{7} = - \frac{x \cdot 8}{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x$ .

$y^{7} = - \frac{8 x}{3}$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[7]{- \frac{8 x}{3}}$

Schritt 3.5

Vereinfache $\sqrt[7]{- \frac{8 x}{3}}$ .

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Schritt 3.5.1

Schreibe $- \frac{8 x}{3}$ als ${({(- 1)}^{7})}^{7} \frac{8 x}{3}$ um.

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Schritt 3.5.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{7}$ um.

$y = \sqrt[7]{{(- 1)}^{7} \frac{8 x}{3}}$

Schritt 3.5.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{7}$ um.

$y = \sqrt[7]{{({(- 1)}^{7})}^{7} \frac{8 x}{3}}$

Schritt 3.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = {(- 1)}^{7} \sqrt[7]{\frac{8 x}{3}}$

Schritt 3.5.3

Potenziere $- 1$ mit $7$ .

$y = - \sqrt[7]{\frac{8 x}{3}}$

Schritt 3.5.4

Schreibe $\sqrt[7]{\frac{8 x}{3}}$ als $\frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$ um.

$y = - \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \frac{3}{8} x^{7}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{8 (- \frac{3}{8} x^{7})}}{\sqrt[7]{3}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{- 8 (\frac{3}{8} x^{7})}}{\sqrt[7]{3}}$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $\frac{3}{8}$ und $- 8$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{\frac{3 \cdot - 8}{8} x^{7}}}{\sqrt[7]{3}}$

Schritt 5.2.3.3

Kombiniere $\frac{3 \cdot - 8}{8}$ und $x^{7}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{\frac{3 \cdot (- 8 x^{7})}{8}}}{\sqrt[7]{3}}$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{3 \cdot - 8 x^{7}}{8}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1.1

Faktorisiere $8$ aus $3 \cdot - 8 x^{7}$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{\frac{8 (3 \cdot (- 1 x^{7}))}{8}}}{\sqrt[7]{3}}$

Schritt 5.2.3.4.1.2

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{\frac{8 (3 \cdot (- 1 x^{7}))}{8 (1)}}}{\sqrt[7]{3}}$

Schritt 5.2.3.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{\frac{8 (3 \cdot (- 1 x^{7}))}{8 \cdot 1}}}{\sqrt[7]{3}}$

Schritt 5.2.3.4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{\frac{3 \cdot (- 1 x^{7})}{1}}}{\sqrt[7]{3}}$

Schritt 5.2.3.4.2

Dividiere $3 \cdot - 1 x^{7}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{3 \cdot (- 1 x^{7})}}{\sqrt[7]{3}}$

Schritt 5.2.3.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.2.3.5.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{- (3 x^{7})}}{\sqrt[7]{3}}$

Schritt 5.2.3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{- 3 x^{7}}}{\sqrt[7]{3}}$

Schritt 5.2.3.6

Schreibe $- 3 x^{7}$ als ${(- x)}^{7} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.2.3.6.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{- 1 \cdot 3 x^{7}}}{\sqrt[7]{3}}$

Schritt 5.2.3.6.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{7}$ um.

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{{(- 1)}^{7} \cdot (3 x^{7})}}{\sqrt[7]{3}}$

Schritt 5.2.3.6.3

Bewege $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{{(- 1)}^{7} x^{7} \cdot 3}}{\sqrt[7]{3}}$

Schritt 5.2.3.6.4

Schreibe ${(- 1)}^{7} x^{7}$ als ${(- x)}^{7}$ um.

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{{(- x)}^{7} \cdot 3}}{\sqrt[7]{3}}$

Schritt 5.2.3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{- x \sqrt[7]{3}}{\sqrt[7]{3}}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt[7]{3}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{- x \sqrt[7]{3}}{\sqrt[7]{3}}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = - \frac{3}{8} \cdot {(- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}})}^{7}$

Schritt 5.3.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.3.3.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = - \frac{3}{8} \cdot ({(- 1)}^{7} {(\frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}})}^{7})$

Schritt 5.3.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = - \frac{3}{8} \cdot ({(- 1)}^{7} (\frac{{\sqrt[7]{8 x}}^{7}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}))$

Schritt 5.3.4

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{7}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.4.1

Bewege ${(- 1)}^{7}$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{7} \cdot (- 1 (\frac{3}{8})) \cdot \frac{{\sqrt[7]{8 x}}^{7}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Schritt 5.3.4.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{7}$ mit $- 1$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{7} \cdot ((- 1) (\frac{3}{8})) \cdot \frac{{\sqrt[7]{8 x}}^{7}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Schritt 5.3.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{7 + 1} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{{\sqrt[7]{8 x}}^{7}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Schritt 5.3.4.3

Addiere $7$ und $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{{\sqrt[7]{8 x}}^{7}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Schritt 5.3.5

Schreibe ${\sqrt[7]{8 x}}^{7}$ als $8 x$ um.

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Schritt 5.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{8 x}$ als ${(8 x)}^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{{({(8 x)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Schritt 5.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{{(8 x)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Schritt 5.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{{(8 x)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Schritt 5.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{{(8 x)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Schritt 5.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Schritt 5.3.5.5

Vereinfache.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Schritt 5.3.6

Schreibe ${\sqrt[7]{3}}^{7}$ als $3$ um.

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Schritt 5.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{3}$ als $3^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{{(3^{\frac{1}{7}})}^{7}}$

Schritt 5.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{3^{\frac{1}{7} \cdot 7}}$

Schritt 5.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{3^{\frac{7}{7}}}$

Schritt 5.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{3^{\frac{7}{7}}}$

Schritt 5.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{3}$

Schritt 5.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{3}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.7.1

Potenziere $- 1$ mit $8$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = 1 (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{3}$

Schritt 5.3.7.2

Mutltipliziere $\frac{3}{8}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{8 x}{3}$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{8 x}{3}$

Schritt 5.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = \frac{1}{8} \cdot (8 x)$

Schritt 5.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.3.9.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = \frac{1}{8} \cdot (8 (x))$

Schritt 5.3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = \frac{1}{8} \cdot (8 x)$

Schritt 5.3.9.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \frac{3}{8} x^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$