Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \frac{3}{7} + \frac{1}{7} x$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{3}{7} + \frac{1}{7} x$ als Gleichung.

$y = \frac{3}{7} + \frac{1}{7} x$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{3}{7} + \frac{1}{7} y$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3}{7} + \frac{1}{7} y = x$ um.

$\frac{3}{7} + \frac{1}{7} y = x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $y$ .

$\frac{3}{7} + \frac{y}{7} = x$

Schritt 3.3

Subtrahiere $\frac{3}{7}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{7} = x - \frac{3}{7}$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $7$ .

$7 \frac{y}{7} = 7 (x - \frac{3}{7})$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \frac{y}{7} = 7 (x - \frac{3}{7})$

Schritt 3.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 7 (x - \frac{3}{7})$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $7 (x - \frac{3}{7})$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 7 x + 7 (- \frac{3}{7})$

Schritt 3.5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.5.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{7}$ in den Zähler.

$y = 7 x + 7 (\frac{- 3}{7})$

Schritt 3.5.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 7 x + 7 (\frac{- 3}{7})$

Schritt 3.5.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 7 x - 3$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 7 x - 3$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 7 x - 3$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{3}{7} + \frac{1}{7} x$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{3}{7} + \frac{1}{7} x)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{7} + \frac{1}{7} x) = 7 (\frac{3}{7} + \frac{1}{7} x) - 3$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{7} + \frac{1}{7} x) = 7 (\frac{3}{7} + \frac{x}{7}) - 3$

Schritt 5.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3}{7} + \frac{1}{7} x) = 7 (\frac{3}{7}) + 7 (\frac{x}{7}) - 3$

Schritt 5.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3}{7} + \frac{1}{7} x) = 7 (\frac{3}{7}) + 7 (\frac{x}{7}) - 3$

Schritt 5.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3}{7} + \frac{1}{7} x) = 3 + 7 (\frac{x}{7}) - 3$

Schritt 5.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3}{7} + \frac{1}{7} x) = 3 + 7 (\frac{x}{7}) - 3$

Schritt 5.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3}{7} + \frac{1}{7} x) = 3 + x - 3$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 + x - 3$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{7} + \frac{1}{7} x) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{7} + \frac{1}{7} x) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (7 x - 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (7 x - 3) = \frac{3}{7} + \frac{1}{7} \cdot (7 x - 3)$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (7 x - 3) = \frac{3}{7} + \frac{1}{7} \cdot (7 x) + \frac{1}{7} \cdot - 3$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$f (7 x - 3) = \frac{3}{7} + \frac{1}{7} \cdot (7 (x)) + \frac{1}{7} \cdot - 3$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (7 x - 3) = \frac{3}{7} + \frac{1}{7} \cdot (7 x) + \frac{1}{7} \cdot - 3$

Schritt 5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (7 x - 3) = \frac{3}{7} + x + \frac{1}{7} \cdot - 3$

Schritt 5.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $- 3$ .

$f (7 x - 3) = \frac{3}{7} + x + \frac{- 3}{7}$

Schritt 5.3.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (7 x - 3) = \frac{3}{7} + x - \frac{3}{7}$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{3}{7} + x - \frac{3}{7}$ .

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Schritt 5.3.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (7 x - 3) = x + \frac{3 - 3}{7}$

Schritt 5.3.4.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (7 x - 3) = x + \frac{0}{7}$

Schritt 5.3.4.3

Dividiere $0$ durch $7$ .

$f (7 x - 3) = x + 0$

Schritt 5.3.4.4

Addiere $x$ und $0$ .

$f (7 x - 3) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 7 x - 3$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{3}{7} + \frac{1}{7} x$ .

$f^{- 1} (x) = 7 x - 3$