Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \frac{8}{27} \cdot (x (3))$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{8}{27} \cdot (x (3))$ als Gleichung.

$y = \frac{8}{27} \cdot (x (3))$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{8}{27} \cdot (y (3))$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{8}{27} y \cdot 3 = x$ um.

$\frac{8}{27} y \cdot 3 = x$

Schritt 3.2

Vereinfache $\frac{8}{27} y \cdot 3$ .

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{8}{27}$ und $y$ .

$\frac{8 y}{27} \cdot 3 = x$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\frac{8 y}{3 (9)} \cdot 3 = x$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y}{3 \cdot 9} \cdot 3 = x$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 y}{9} = x$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{9}{8}$ .

$\frac{9}{8} \cdot \frac{8 y}{9} = \frac{9}{8} x$

Schritt 3.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Vereinfache $\frac{9}{8} \cdot \frac{8 y}{9}$ .

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Schritt 3.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{8} \cdot \frac{8 y}{9} = \frac{9}{8} x$

Schritt 3.4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{8} (8 y) = \frac{9}{8} x$

Schritt 3.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.4.1.1.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8 y$ heraus.

$\frac{1}{8} (8 (y)) = \frac{9}{8} x$

Schritt 3.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{8} (8 y) = \frac{9}{8} x$

Schritt 3.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{9}{8} x$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $\frac{9}{8}$ und $x$ .

$y = \frac{9 x}{8}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{8}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{8}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{8}{27} \cdot (x (3))$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{8}{27} \cdot (x (3)))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{8}{27} \cdot (x (3))) = \frac{9 (\frac{8}{27} \cdot (x (3)))}{8}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $9$ und $\frac{8}{27}$ .

$f^{- 1} (\frac{8}{27} \cdot (x (3))) = \frac{\frac{9 \cdot 8}{27} x \cdot 3}{8}$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $\frac{9 \cdot 8}{27}$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{8}{27} \cdot (x (3))) = \frac{\frac{9 \cdot (8 x)}{27} \cdot 3}{8}$

Schritt 5.2.3.3

Kombiniere $\frac{9 \cdot 8 x}{27}$ und $3$ .

$f^{- 1} (\frac{8}{27} \cdot (x (3))) = \frac{\frac{9 \cdot (8 x) \cdot 3}{27}}{8}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $9$ mit $8$ .

$f^{- 1} (\frac{8}{27} \cdot (x (3))) = \frac{\frac{72 x \cdot 3}{27}}{8}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $72$ .

$f^{- 1} (\frac{8}{27} \cdot (x (3))) = \frac{\frac{216 x}{27}}{8}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.5.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{216 x}{27}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.5.1.1

Faktorisiere $27$ aus $216 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{8}{27} \cdot (x (3))) = \frac{\frac{27 (8 x)}{27}}{8}$

Schritt 5.2.5.1.2

Faktorisiere $27$ aus $27$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{8}{27} \cdot (x (3))) = \frac{\frac{27 (8 x)}{27 (1)}}{8}$

Schritt 5.2.5.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{8}{27} \cdot (x (3))) = \frac{\frac{27 (8 x)}{27 \cdot 1}}{8}$

Schritt 5.2.5.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{8}{27} \cdot (x (3))) = \frac{\frac{8 x}{1}}{8}$

Schritt 5.2.5.2

Dividiere $8 x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{8}{27} \cdot (x (3))) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{8}{27} \cdot (x (3))) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 5.2.6.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{8}{27} \cdot (x (3))) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{9 x}{8})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{9 x}{8}) = \frac{8}{27} \cdot ((\frac{9 x}{8}) (3))$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$f (\frac{9 x}{8}) = \frac{8}{3 (9)} \cdot ((\frac{9 x}{8}) (3))$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $3$ aus $(\frac{9 x}{8}) (3)$ heraus.

$f (\frac{9 x}{8}) = \frac{8}{3 (9)} \cdot (3 ((\frac{3 x}{8}) \cdot 3))$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{9 x}{8}) = \frac{8}{3 \cdot 9} \cdot (3 ((\frac{3 x}{8}) \cdot 3))$

Schritt 5.3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{9 x}{8}) = \frac{8}{9} \cdot ((\frac{3 x}{8}) \cdot 3)$

Schritt 5.3.4

Kombiniere $\frac{3 x}{8}$ und $3$ .

$f (\frac{9 x}{8}) = \frac{8}{9} \cdot \frac{3 x \cdot 3}{8}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{9 x}{8}) = \frac{8}{9} \cdot \frac{9 x}{8}$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $\frac{8}{9}$ mit $\frac{9 x}{8}$ .

$f (\frac{9 x}{8}) = \frac{8 (9 x)}{9 \cdot 8}$

Schritt 5.3.7

Multipliziere.

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Schritt 5.3.7.1

Mutltipliziere $9$ mit $8$ .

$f (\frac{9 x}{8}) = \frac{72 x}{9 \cdot 8}$

Schritt 5.3.7.2

Mutltipliziere $9$ mit $8$ .

$f (\frac{9 x}{8}) = \frac{72 x}{72}$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $72$ .

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Schritt 5.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{9 x}{8}) = \frac{72 x}{72}$

Schritt 5.3.8.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{9 x}{8}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{8}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{8}{27} \cdot (x (3))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{8}$