Trigonometrie Beispiele

$f (x) = - \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}$ als Gleichung.

$y = - \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{7}{5} y + \frac{5}{3}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{7}{5} y + \frac{5}{3} = x$ um.

$- \frac{7}{5} y + \frac{5}{3} = x$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $y$ und $\frac{7}{5}$ .

$- \frac{y \cdot 7}{5} + \frac{5}{3} = x$

Schritt 3.2.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $y$ .

$- \frac{7 y}{5} + \frac{5}{3} = x$

Schritt 3.3

Subtrahiere $\frac{5}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{7 y}{5} = x - \frac{5}{3}$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{5}{7}$ .

$- \frac{5}{7} (- \frac{7 y}{5}) = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Vereinfache $- \frac{5}{7} (- \frac{7 y}{5})$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{7}$ in den Zähler.

$\frac{- 5}{7} (- \frac{7 y}{5}) = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7 y}{5}$ in den Zähler.

$\frac{- 5}{7} \cdot \frac{- 7 y}{5} = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Schritt 3.5.1.1.1.3

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$\frac{5 (- 1)}{7} \cdot \frac{- 7 y}{5} = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Schritt 3.5.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot - 1}{7} \cdot \frac{- 7 y}{5} = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Schritt 3.5.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{7} (- 7 y) = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Schritt 3.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.5.1.1.2.1

Faktorisiere $7$ aus $- 7 y$ heraus.

$\frac{- 1}{7} (7 (- y)) = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Schritt 3.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{7} (7 (- y)) = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Schritt 3.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Schritt 3.5.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.5.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Schritt 3.5.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $- \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{5}{7} x - \frac{5}{7} (- \frac{5}{3})$

Schritt 3.5.2.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{5}{7}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{7} - \frac{5}{7} (- \frac{5}{3})$

Schritt 3.5.2.1.3

Multipliziere $- \frac{5}{7} (- \frac{5}{3})$ .

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Schritt 3.5.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{7} + 1 (\frac{5}{7}) \frac{5}{3}$

Schritt 3.5.2.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{5}{7}$ mit $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{5}{7} \cdot \frac{5}{3}$

Schritt 3.5.2.1.3.3

Mutltipliziere $\frac{5}{7}$ mit $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{5 \cdot 5}{7 \cdot 3}$

Schritt 3.5.2.1.3.4

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{25}{7 \cdot 3}$

Schritt 3.5.2.1.3.5

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{25}{21}$

Schritt 3.5.2.1.4

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3})}{7} + \frac{25}{21}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{7}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{x \cdot 7}{5} + \frac{5}{3})}{7} + \frac{25}{21}$

Schritt 5.2.3.1.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7 \cdot x}{5} + \frac{5}{3})}{7} + \frac{25}{21}$

Schritt 5.2.3.1.3

Um $- \frac{7 x}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7 x}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3})}{7} + \frac{25}{21}$

Schritt 5.2.3.1.4

Um $\frac{5}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7 x}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{5})}{7} + \frac{25}{21}$

Schritt 5.2.3.1.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.3.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{7 x}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7 x \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{5})}{7} + \frac{25}{21}$

Schritt 5.2.3.1.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7 x \cdot 3}{15} + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{5})}{7} + \frac{25}{21}$

Schritt 5.2.3.1.5.3

Mutltipliziere $\frac{5}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7 x \cdot 3}{15} + \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5})}{7} + \frac{25}{21}$

Schritt 5.2.3.1.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7 x \cdot 3}{15} + \frac{5 \cdot 5}{15})}{7} + \frac{25}{21}$

Schritt 5.2.3.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (\frac{- 7 x \cdot 3 + 5 \cdot 5}{15})}{7} + \frac{25}{21}$

Schritt 5.2.3.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.7.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 7$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (\frac{- 21 x + 5 \cdot 5}{15})}{7} + \frac{25}{21}$

Schritt 5.2.3.1.7.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (\frac{- 21 x + 25}{15})}{7} + \frac{25}{21}$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $5$ und $\frac{- 21 x + 25}{15}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{\frac{5 (- 21 x + 25)}{15}}{7} + \frac{25}{21}$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache den Ausdruck $\frac{5 (- 21 x + 25)}{15}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.3.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{\frac{5 (- 21 x + 25)}{5 \cdot 3}}{7} + \frac{25}{21}$

Schritt 5.2.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{\frac{5 (- 21 x + 25)}{5 \cdot 3}}{7} + \frac{25}{21}$

Schritt 5.2.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{\frac{- 21 x + 25}{3}}{7} + \frac{25}{21}$

Schritt 5.2.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - (\frac{- 21 x + 25}{3} \cdot \frac{1}{7}) + \frac{25}{21}$

Schritt 5.2.3.5

Multipliziere $\frac{- 21 x + 25}{3} \cdot \frac{1}{7}$ .

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Schritt 5.2.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{- 21 x + 25}{3}$ mit $\frac{1}{7}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{- 21 x + 25}{3 \cdot 7} + \frac{25}{21}$

Schritt 5.2.3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{- 21 x + 25}{21} + \frac{25}{21}$

Schritt 5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = \frac{- (- 21 x + 25) + 25}{21}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = \frac{- (- 21 x) - 1 \cdot 25 + 25}{21}$

Schritt 5.2.5.2

Mutltipliziere $- 21$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = \frac{21 x - 1 \cdot 25 + 25}{21}$

Schritt 5.2.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = \frac{21 x - 25 + 25}{21}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.6.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $21 x - 25 + 25$ .

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Schritt 5.2.6.1.1

Addiere $- 25$ und $25$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = \frac{21 x + 0}{21}$

Schritt 5.2.6.1.2

Addiere $21 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = \frac{21 x}{21}$

Schritt 5.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $21$ .

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Schritt 5.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = \frac{21 x}{21}$

Schritt 5.2.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = - \frac{7}{5} \cdot (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) + \frac{5}{3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = - \frac{7}{5} \cdot (- \frac{5 x}{7}) - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{5}$ in den Zähler.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = \frac{- 7}{5} \cdot (- \frac{5 x}{7}) - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Schritt 5.3.3.2.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 x}{7}$ in den Zähler.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = \frac{- 7}{5} \cdot \frac{- 5 x}{7} - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = \frac{7 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 x}{7} - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Schritt 5.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = \frac{7 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 x}{7} - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Schritt 5.3.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = \frac{- 1}{5} \cdot (- 5 x) - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x$ heraus.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = - 1 (- x) - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = 1 x - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Schritt 5.3.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Schritt 5.3.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{5}$ in den Zähler.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + \frac{- 7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Schritt 5.3.3.6.2

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + \frac{7 (- 1)}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Schritt 5.3.3.6.3

Faktorisiere $7$ aus $21$ heraus.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + \frac{7 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{25}{7 \cdot 3} + \frac{5}{3}$

Schritt 5.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + \frac{7 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{25}{7 \cdot 3} + \frac{5}{3}$

Schritt 5.3.3.6.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + \frac{- 1}{5} \cdot \frac{25}{3} + \frac{5}{3}$

Schritt 5.3.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.7.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + \frac{- 1}{5} \cdot \frac{5 (5)}{3} + \frac{5}{3}$

Schritt 5.3.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + \frac{- 1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 5}{3} + \frac{5}{3}$

Schritt 5.3.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x - 1 (\frac{5}{3}) + \frac{5}{3}$

Schritt 5.3.3.8

Schreibe $- 1 (\frac{5}{3})$ als $- (\frac{5}{3})$ um.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x - \frac{5}{3} + \frac{5}{3}$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - \frac{5}{3} + \frac{5}{3}$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- \frac{5}{3}$ und $\frac{5}{3}$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}$