Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \sqrt{w - 1}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt{w - 1}$ als Gleichung.

$y = \sqrt{w - 1}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$w = \sqrt{y - 1}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{y - 1} = w$ um.

$\sqrt{y - 1} = w$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y - 1}}^{2} = w^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y - 1}$ als ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = w^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = w^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = w^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y - 1)}^{1} = w^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$y - 1 = w^{2}$

Schritt 3.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = w^{2} + 1$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (w)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (w) = w^{2} + 1$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (w) = w^{2} + 1$ die Umkehrfunktion von $f (w) = \sqrt{w - 1}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (w)) = w$ ist und $f (f^{- 1} (w)) = w$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (w))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (w))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{w - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = {(\sqrt{w - 1})}^{2} + 1$

Schritt 5.2.3

Schreibe ${\sqrt{w - 1}}^{2}$ als $w - 1$ um.

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Schritt 5.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{w - 1}$ als ${(w - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = {({(w - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Schritt 5.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = {(w - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Schritt 5.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = {(w - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1$

Schritt 5.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = {(w - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1$

Schritt 5.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = (w - 1) + 1$

Schritt 5.2.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = w - 1 + 1$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $w - 1 + 1$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = w + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $w$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w - 1}) = w$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (w))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (w))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (w^{2} + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (w^{2} + 1) = \sqrt{(w^{2} + 1) - 1}$

Schritt 5.3.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (w^{2} + 1) = \sqrt{w^{2} + 0}$

Schritt 5.3.4

Addiere $w^{2}$ und $0$ .

$f (w^{2} + 1) = \sqrt{w^{2}}$

Schritt 5.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (w^{2} + 1) = w$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (w)) = w$ und $f (f^{- 1} (w)) = w$ gleich sind, ist $f^{- 1} (w) = w^{2} + 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (w) = \sqrt{w - 1}$ .

$f^{- 1} (w) = w^{2} + 1$