Trigonometrie Beispiele

$f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ als Gleichung.

$y = - \sqrt{49 - x^{2}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - \sqrt{49 - y^{2}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- \sqrt{49 - y^{2}} = x$ um.

$- \sqrt{49 - y^{2}} = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- \sqrt{49 - y^{2}} = x$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sqrt{49 - y^{2}} = x$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{49 - y^{2}}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sqrt{49 - y^{2}}}{1} = \frac{x}{- 1}$

Schritt 3.2.2.1.2

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Dividiere $\sqrt{49 - y^{2}}$ durch $1$ .

$\sqrt{49 - y^{2}} = \frac{x}{- 1}$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\sqrt{7^{2} - y^{2}} = \frac{x}{- 1}$

Schritt 3.2.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 7$ und $b = y$ .

$\sqrt{(7 + y) (7 - y)} = \frac{x}{- 1}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x}{- 1}$ .

$\sqrt{(7 + y) (7 - y)} = - 1 \cdot x$

Schritt 3.2.3.2

Schreibe $- 1 \cdot x$ als $- x$ um.

$\sqrt{(7 + y) (7 - y)} = - x$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{(7 + y) (7 - y)}}^{2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(7 + y) (7 - y)}$ als ${((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${({((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${((7 + y) (7 - y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Multipliziere $(7 + y) (7 - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(7 (7 - y) + y (7 - y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(7 \cdot 7 + 7 (- y) + y (7 - y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(7 \cdot 7 + 7 (- y) + y \cdot 7 + y (- y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

${(49 + 7 (- y) + y \cdot 7 + y (- y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

${(49 - 7 y + y \cdot 7 + y (- y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3.1.3

Bringe $7$ auf die linke Seite von $y$ .

${(49 - 7 y + 7 \cdot y + y (- y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(49 - 7 y + 7 y - y \cdot y)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.2.1.3.1.5.1

Bewege $y$ .

${(49 - 7 y + 7 y - (y \cdot y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

${(49 - 7 y + 7 y - y^{2})}^{1} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3.2

Addiere $- 7 y$ und $7 y$ .

${(49 + 0 - y^{2})}^{1} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3.3

Addiere $49$ und $0$ .

${(49 - y^{2})}^{1} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.4

Vereinfache.

$49 - y^{2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(- x)}^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$49 - y^{2} = {(- 1)}^{2} x^{2}$

Schritt 3.4.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$49 - y^{2} = 1 x^{2}$

Schritt 3.4.3.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$49 - y^{2} = x^{2}$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $49$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} = x^{2} - 49$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = x^{2} - 49$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = x^{2} - 49$ durch $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 49}{- 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$y^{2} = - x^{2} + \frac{- 49}{- 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.3

Dividiere $- 49$ durch $- 1$ .

$y^{2} = - x^{2} + 49$

Schritt 3.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 49}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- x^{2} + 49}$ .

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Schritt 3.5.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.4.1.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 7^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.2

Stelle $- x^{2}$ und $7^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{7^{2} - x^{2}}$

Schritt 3.5.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 7$ und $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Schritt 3.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Schritt 3.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Schritt 3.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ und $f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[- 7, 0]$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(7 + x) (7 - x) \geq 0$

Schritt 5.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$7 + x = 0$

$7 - x = 0$

Schritt 5.3.2.2

Setze $7 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.2.1

Setze $7 + x$ gleich $0$ .

$7 + x = 0$

Schritt 5.3.2.2.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 5.3.2.3

Setze $7 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.3.1

Setze $7 - x$ gleich $0$ .

$7 - x = 0$

Schritt 5.3.2.3.2

Löse $7 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.3.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 7$

Schritt 5.3.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 7$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 7$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 5.3.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 5.3.2.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 5.3.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.3.2.2.3.1

Dividiere $- 7$ durch $- 1$ .

$x = 7$

Schritt 5.3.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(7 + x) (7 - x) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 7, 7$

Schritt 5.3.2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 5.3.2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.3.2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 5.3.2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(7 - 10) (7 - (- 10)) \geq 0$

Schritt 5.3.2.6.1.3

Die linke Seite $- 51$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.3.2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 7 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 7 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.3.2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(7 + 0) (7 - (0)) \geq 0$

Schritt 5.3.2.6.2.3

Die linke Seite $49$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 5.3.2.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.2.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 5.3.2.6.3.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(7 + 10) (7 - (10)) \geq 0$

Schritt 5.3.2.6.3.3

Die linke Seite $- 51$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.3.2.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

Schritt 5.3.2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 7 \leq x \leq 7$

Schritt 5.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 7, 7]$

Schritt 5.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ keine inverse Funktion von $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 6