Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ als Gleichung.

$y = \sqrt{4 x^{2} + 3}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{4 y^{2} + 3}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{4 y^{2} + 3} = x$ um.

$\sqrt{4 y^{2} + 3} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{4 y^{2} + 3}}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 y^{2} + 3}$ als ${(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 y^{2} + 3)}^{1} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$4 y^{2} + 3 = x^{2}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{2} = x^{2} - 3$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{2} = x^{2} - 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{2} = x^{2} - 3$ durch $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3}{4}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3}{4}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3}{4}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3}{4}$

Schritt 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3}{4}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3}{4}}$ .

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Schritt 3.4.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 3}{4}}$

Schritt 3.4.4.2

Schreibe $\frac{x^{2} - 3}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 3)$ um.

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Schritt 3.4.4.2.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $x^{2} - 3$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 3)}{4}}$

Schritt 3.4.4.2.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 3)}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 3.4.4.2.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (x^{2} - 3)}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 3)}$

Schritt 3.4.4.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} - 3}$

Schritt 3.4.4.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{x^{2} - 3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Schritt 3.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Schritt 3.4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Schritt 3.4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ und $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[\sqrt{3}, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} - 3}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 3 \geq 0$

Schritt 5.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Addiere $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \geq 3$

Schritt 5.3.2.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{3}$

Schritt 5.3.2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.3.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq \sqrt{3}$

Schritt 5.3.2.4

Schreibe $| x | \geq \sqrt{3}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 5.3.2.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 5.3.2.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \geq \sqrt{3}$

Schritt 5.3.2.4.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 5.3.2.4.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \geq \sqrt{3}$

Schritt 5.3.2.4.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 5.3.2.5

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq \sqrt{3}$ und $x \geq 0$ .

$x \geq \sqrt{3}$

Schritt 5.3.2.6

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq \sqrt{3}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.6.1

Teile jeden Term in $- x \geq \sqrt{3}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Schritt 5.3.2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Schritt 5.3.2.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Schritt 5.3.2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.6.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{3}$

Schritt 5.3.2.6.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$x \leq - \sqrt{3}$

Schritt 5.3.2.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x \leq - \sqrt{3}$ oder $x \geq \sqrt{3}$

Schritt 5.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$

Schritt 5.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ keine inverse Funktion von $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 6