Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \sqrt{2 x - 3} + 2$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt{2 x - 3} + 2$ als Gleichung.

$y = \sqrt{2 x - 3} + 2$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{2 y - 3} + 2$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{2 y - 3} + 2 = x$ um.

$\sqrt{2 y - 3} + 2 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2 y - 3} = x - 2$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 y - 3}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 y - 3}$ als ${(2 y - 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${({(2 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 y - 3)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache.

$2 y - 3 = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$2 y - 3 = (x - 2) (x - 2)$

Schritt 3.4.3.1.2

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y - 3 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y - 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y - 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 y - 3 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.4.3.1.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 y - 3 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$2 y - 3 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Schritt 3.4.3.1.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$2 y - 3 = x^{2} - 4 x + 4$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = x^{2} - 4 x + 4 + 3$

Schritt 3.5.1.2

Addiere $4$ und $3$ .

$2 y = x^{2} - 4 x + 7$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = x^{2} - 4 x + 7$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = x^{2} - 4 x + 7$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 4 x}{2} + \frac{7}{2}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 4 x}{2} + \frac{7}{2}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 4 x}{2} + \frac{7}{2}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 x)}{2} + \frac{7}{2}$

Schritt 3.5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 x)}{2 (1)} + \frac{7}{2}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 x)}{2 \cdot 1} + \frac{7}{2}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{1} + \frac{7}{2}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.4

Dividiere $- 2 x$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{2 x - 3} + 2$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{(\sqrt{2 x - 3} + 2)}^{2}}{2} - 2 (\sqrt{2 x - 3} + 2) + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{(\sqrt{2 x - 3} + 2)}^{2}}{2} - 2 \sqrt{2 x - 3} - 2 \cdot 2 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{(\sqrt{2 x - 3} + 2)}^{2}}{2} - 2 \sqrt{2 x - 3} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.4

Um $- 2 \sqrt{2 x - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{(\sqrt{2 x - 3} + 2)}^{2}}{2} - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot \frac{2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Kombiniere $- 2 \sqrt{2 x - 3}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{(\sqrt{2 x - 3} + 2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{(\sqrt{2 x - 3} + 2)}^{2} - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.1

Schreibe ${(\sqrt{2 x - 3} + 2)}^{2}$ als $(\sqrt{2 x - 3} + 2) (\sqrt{2 x - 3} + 2)$ um.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{(\sqrt{2 x - 3} + 2) (\sqrt{2 x - 3} + 2) - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.6.2

Multipliziere $(\sqrt{2 x - 3} + 2) (\sqrt{2 x - 3} + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{\sqrt{2 x - 3} (\sqrt{2 x - 3} + 2) + 2 (\sqrt{2 x - 3} + 2) - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 (\sqrt{2 x - 3} + 2) - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.6.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.6.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.6.3.1.1

Multipliziere $\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 x - 3}$ .

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Schritt 5.2.6.3.1.1.1

Potenziere $\sqrt{2 x - 3}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.6.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{2 x - 3}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.6.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{\sqrt{2 x - 3}}^{1 + 1} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.6.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{\sqrt{2 x - 3}}^{2} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.6.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{2 x - 3}}^{2}$ als $2 x - 3$ um.

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Schritt 5.2.6.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x - 3}$ als ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.6.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.6.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{(2 x - 3)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.6.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.6.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{(2 x - 3)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.6.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{(2 x - 3) + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.6.3.1.2.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{2 x - 3 + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.6.3.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2 x - 3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{2 x - 3 + 2 \cdot \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.6.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{2 x - 3 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + 4 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.6.3.2

Addiere $- 3$ und $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{2 x + 1 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.6.3.3

Addiere $2 \sqrt{2 x - 3}$ und $2 \sqrt{2 x - 3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{2 x + 1 + 4 \sqrt{2 x - 3} - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{2 x + 1 + 4 \sqrt{2 x - 3} - 4 \sqrt{2 x - 3}}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.6.5

Subtrahiere $4 \sqrt{2 x - 3}$ von $4 \sqrt{2 x - 3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{2 x + 1 + 0}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.6.6

Addiere $2 x + 1$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{2 x + 1}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Schritt 5.2.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.7.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = - 4 + \frac{2 x + 1 + 7}{2}$

Schritt 5.2.7.2

Addiere $1$ und $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = - 4 + \frac{2 x + 8}{2}$

Schritt 5.2.7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 x + 8$ und $2$ .

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Schritt 5.2.7.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = - 4 + \frac{2 (x) + 8}{2}$

Schritt 5.2.7.3.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = - 4 + \frac{2 (x) + 2 \cdot 4}{2}$

Schritt 5.2.7.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (4)$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = - 4 + \frac{2 (x + 4)}{2}$

Schritt 5.2.7.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.7.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = - 4 + \frac{2 (x + 4)}{2 (1)}$

Schritt 5.2.7.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = - 4 + \frac{2 (x + 4)}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.7.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = - 4 + \frac{x + 4}{1}$

Schritt 5.2.7.3.4.4

Dividiere $x + 4$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = - 4 + x + 4$

Schritt 5.2.7.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 4 + x + 4$ .

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Schritt 5.2.7.4.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = x + 0$

Schritt 5.2.7.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) - 3} + 2$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- 2 x) + 2 (\frac{7}{2}) - 3} + 2$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- 2 x) + 2 (\frac{7}{2}) - 3} + 2$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = \sqrt{x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 (\frac{7}{2}) - 3} + 2$

Schritt 5.3.3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = \sqrt{x^{2} - 4 x + 2 (\frac{7}{2}) - 3} + 2$

Schritt 5.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = \sqrt{x^{2} - 4 x + 2 (\frac{7}{2}) - 3} + 2$

Schritt 5.3.3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = \sqrt{x^{2} - 4 x + 7 - 3} + 2$

Schritt 5.3.3.3

Subtrahiere $3$ von $7$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = \sqrt{x^{2} - 4 x + 4} + 2$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.3.3.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = \sqrt{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + 2$

Schritt 5.3.3.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 5.3.3.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + 2$

Schritt 5.3.3.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = \sqrt{{(x - 2)}^{2}} + 2$

Schritt 5.3.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = x - 2 + 2$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{2 x - 3} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}$