Trigonometrie Beispiele

$f (x) = t g^{4} (x^{2} + 1)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = t g^{4} (x^{2} + 1)$ als Gleichung.

$y = t g^{4} (x^{2} + 1)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$t = y g^{4} (x^{2} + 1)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $y g^{4} (x^{2} + 1) = t$ um.

$y g^{4} (x^{2} + 1) = t$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $y g^{4} (x^{2} + 1) = t$ durch $g^{4} (x^{2} + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y g^{4} (x^{2} + 1) = t$ durch $g^{4} (x^{2} + 1)$ .

$\frac{y g^{4} (x^{2} + 1)}{g^{4} (x^{2} + 1)} = \frac{t}{g^{4} (x^{2} + 1)}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $g^{4}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y g^{4} (x^{2} + 1)}{g^{4} (x^{2} + 1)} = \frac{t}{g^{4} (x^{2} + 1)}$

Schritt 3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{t}{g^{4} (x^{2} + 1)}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{t}{g^{4} (x^{2} + 1)}$

Schritt 3.2.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{t}{g^{4} (x^{2} + 1)}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (t) = \frac{t}{g^{4} (x^{2} + 1)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (t) = \frac{t}{g^{4} (x^{2} + 1)}$ die Umkehrfunktion von $f (t) = t g^{4} (x^{2} + 1)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (t)) = t$ ist und $f (f^{- 1} (t)) = t$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (t))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (t))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (t g^{4} (x^{2} + 1))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (t g^{4} (x^{2} + 1)) = \frac{t g^{4} (x^{2} + 1)}{g^{4} (x^{2} + 1)}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $g^{4}$ .

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (t g^{4} (x^{2} + 1)) = \frac{t g^{4} (x^{2} + 1)}{g^{4} (x^{2} + 1)}$

Schritt 5.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (t g^{4} (x^{2} + 1)) = \frac{t (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (t g^{4} (x^{2} + 1)) = \frac{t (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$f^{- 1} (t g^{4} (x^{2} + 1)) = t$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (t))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (t))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{t}{g^{4} (x^{2} + 1)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{t}{g^{4} (x^{2} + 1)}) = (\frac{t}{g^{4} (x^{2} + 1)}) \cdot (g^{4} (x^{2} + 1))$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $g^{4} (x^{2} + 1)$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{t}{g^{4} (x^{2} + 1)}) = \frac{t}{g^{4} (x^{2} + 1)} \cdot (g^{4} (x^{2} + 1))$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{t}{g^{4} (x^{2} + 1)}) = t$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (t)) = t$ und $f (f^{- 1} (t)) = t$ gleich sind, ist $f^{- 1} (t) = \frac{t}{g^{4} (x^{2} + 1)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (t) = t g^{4} (x^{2} + 1)$ .

$f^{- 1} (t) = \frac{t}{g^{4} (x^{2} + 1)}$