Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \log_{6} (2 x - 4)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \log_{6} (2 x - 4)$ als Gleichung.

$y = \log_{6} (2 x - 4)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \log_{6} (2 y - 4)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\log_{6} (2 y - 4) = x$ um.

$\log_{6} (2 y - 4) = x$

Schritt 3.2

Schreibe $\log_{6} (2 y - 4) = x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$6^{x} = 2 y - 4$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $2 y - 4 = 6^{x}$ um.

$2 y - 4 = 6^{x}$

Schritt 3.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = 6^{x} + 4$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 6^{x} + 4$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 6^{x} + 4$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{6^{x}}{2} + \frac{4}{2}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{6^{x}}{2} + \frac{4}{2}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{6^{x}}{2} + \frac{4}{2}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Dividiere $4$ durch $2$ .

$y = \frac{6^{x}}{2} + 2$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{6^{x}}{2} + 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{6^{x}}{2} + 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \log_{6} (2 x - 4)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{6^{\log_{6} (2 x - 4)}}{2} + 2$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{2 x - 4}{2} + 2$

Schritt 5.2.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 4$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{2 (x) - 4}{2} + 2$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{2 x + 2 \cdot - 2}{2} + 2$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 2$ heraus.

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{2 (x - 2)}{2} + 2$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{2 (x - 2)}{2} + 2$

Schritt 5.2.3.2.2

Dividiere $x - 2$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = x - 2 + 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{6^{x}}{2} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (2 (\frac{6^{x}}{2} + 2) - 4)$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (2 (\frac{6^{x}}{2}) + 2 \cdot 2 - 4)$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (2 (\frac{6^{x}}{2}) + 2 \cdot 2 - 4)$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (6^{x} + 2 \cdot 2 - 4)$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (6^{x} + 4 - 4)$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6^{x} + 4 - 4$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (6^{x} + 0)$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $6^{x}$ und $0$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (6^{x})$

Schritt 5.3.5

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = x \log_{6} (6)$

Schritt 5.3.6

Die logarithmische Basis $6$ von $6$ ist $1$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = x \cdot 1$

Schritt 5.3.7

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{6^{x}}{2} + 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \log_{6} (2 x - 4)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6^{x}}{2} + 2$