Trigonometrie Beispiele

$\sin (\frac{π}{2} - x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sin (\frac{π}{2} - y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sin (\frac{π}{2} - y) = x$ um.

$\sin (\frac{π}{2} - y) = x$

Schritt 2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{π}{2} - y = \arcsin (x)$

Schritt 2.3

Subtrahiere $\frac{π}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = \arcsin (x) - \frac{π}{2}$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $- y = \arcsin (x) - \frac{π}{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = \arcsin (x) - \frac{π}{2}$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\arcsin (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{\arcsin (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arcsin (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\arcsin (x)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \arcsin (x) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Schritt 2.4.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \arcsin (x)$ als $- \arcsin (x)$ um.

$y = - \arcsin (x) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Schritt 2.4.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - \arcsin (x) + \frac{\frac{π}{2}}{1}$

Schritt 2.4.3.1.4

Dividiere $\frac{π}{2}$ durch $1$ .

$y = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sin (\frac{π}{2} - x)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sin (\frac{π}{2} - x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sin (\frac{π}{2} - x)) = - \arcsin (\sin (\frac{π}{2} - x)) + \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.3

Stelle $\frac{π}{2}$ und $- x$ um.

$f^{- 1} (\sin (\frac{π}{2} - x)) = - \arcsin (\sin (- x + \frac{π}{2})) + \frac{π}{2}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} - (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}))$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} + \arcsin (x) - \frac{π}{2})$

Schritt 4.3.3.2

Multipliziere $- - \arcsin (x)$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} + 1 \arcsin (x) - \frac{π}{2})$

Schritt 4.3.3.2.2

Mutltipliziere $\arcsin (x)$ mit $1$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} + \arcsin (x) - \frac{π}{2})$

Schritt 4.3.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.3.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{π}{2} + \arcsin (x) - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 4.3.4.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π - π}{2} + \arcsin (x))$

Schritt 4.3.4.1.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{0}{2} + \arcsin (x))$

Schritt 4.3.4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.4.2.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (0 + \arcsin (x))$

Schritt 4.3.4.2.2

Addiere $0$ und $\arcsin (x)$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.3.5

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sin (\frac{π}{2} - x)$ .

$f^{- 1} (x) = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$