Trigonometrie Beispiele

$y = \frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{\sqrt{2 y + 4}}{3}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} = x$ um.

$\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} = x$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Vereinfache $\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} \cdot 3$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y + 4$ heraus.

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Schritt 2.3.1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{\sqrt{2 (y) + 4}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Schritt 2.3.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{\sqrt{2 y + 2 \cdot 2}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Schritt 2.3.1.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 y + 2 \cdot 2$ heraus.

$\frac{\sqrt{2 (y + 2)}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Schritt 2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2 (y + 2)}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2 (y + 2)} = x \cdot 3$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\sqrt{2 (y + 2)} = 3 x$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 (y + 2)}}^{2} = {(3 x)}^{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 (y + 2)}$ als ${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x)}^{2}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Vereinfache ${({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x)}^{2}$

Schritt 2.4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x)}^{2}$

Schritt 2.4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 (y + 2))}^{1} = {(3 x)}^{2}$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(2 y + 2 \cdot 2)}^{1} = {(3 x)}^{2}$

Schritt 2.4.2.2.1.3

Multipliziere.

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Schritt 2.4.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(2 y + 4)}^{1} = {(3 x)}^{2}$

Schritt 2.4.2.2.1.3.2

Vereinfache.

$2 y + 4 = {(3 x)}^{2}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.3.1

Vereinfache ${(3 x)}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$2 y + 4 = 3^{2} x^{2}$

Schritt 2.4.2.3.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$2 y + 4 = 9 x^{2}$

Schritt 2.4.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = 9 x^{2} - 4$

Schritt 2.4.3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 9 x^{2} - 4$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 9 x^{2} - 4$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{2}$

Schritt 2.4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{2}$

Schritt 2.4.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{2}$

Schritt 2.4.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$y = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3})}^{2}}{2} - 2$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 4$ heraus.

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Schritt 4.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 (x) + 4}}{3})}^{2}}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 x + 2 \cdot 2}}{3})}^{2}}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 2$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 (x + 2)}}{3})}^{2}}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2 (x + 2)}}{3}$ an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{\sqrt{2 (x + 2)}}^{2}}{3^{2}})}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.2.2.1

Schreibe ${\sqrt{2 (x + 2)}}^{2}$ als $2 (x + 2)$ um.

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Schritt 4.2.3.2.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 (x + 2)}$ als ${(2 (x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{({(2 (x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}})}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.2.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{(2 (x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}})}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.2.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{(2 (x + 2))}^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{(2 (x + 2))}^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{3^{2}})}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.2.2.1.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{3^{2}})}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 x + 2 \cdot 2}{3^{2}})}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 x + 4}{3^{2}})}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.2.2.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 4$ heraus.

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Schritt 4.2.3.2.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x) + 4}{3^{2}})}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.2.2.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 x + 2 \cdot 2}{3^{2}})}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.2.2.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 2$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{3^{2}})}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{9})}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.3

Kombiniere $9$ und $\frac{2 (x + 2)}{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9}}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.4

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{18 (x + 2)}{9}}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.5.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{18 (x + 2)}{9}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.5.1.1

Faktorisiere $9$ aus $18 (x + 2)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9}}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.5.1.2

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9 (1)}}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.5.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9 \cdot 1}}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.5.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{2 (x + 2)}{1}}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.5.2

Dividiere $2 (x + 2)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{2 (x + 2)}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{2 (x + 2)}{2} - 2$

Schritt 4.2.3.6.2

Dividiere $x + 2$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = x + 2 - 2$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 - 2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 4}}{3}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 4$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 2 \cdot 2}}{3}$

Schritt 4.3.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 2 \cdot 2$ heraus.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2 + 2)}}{3}$

Schritt 4.3.3.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} + 2)}}{3}$

Schritt 4.3.3.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + 2)}}{3}$

Schritt 4.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2}{2} + 2)}}{3}$

Schritt 4.3.3.5

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}}{3}$

Schritt 4.3.3.6

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}}{3}$

Schritt 4.3.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2}{2})}}{3}$

Schritt 4.3.3.8

Stelle die Terme um.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2})}}{3}$

Schritt 4.3.3.9

Schreibe $\frac{9 x^{2} + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.3.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 4 - 2 \cdot 2}{2})}}{3}$

Schritt 4.3.3.9.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 4 - 4}{2})}}{3}$

Schritt 4.3.3.9.3

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 0}{2})}}{3}$

Schritt 4.3.3.9.4

Addiere $9 x^{2}$ und $0$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2})}}{3}$

Schritt 4.3.3.10

Kombiniere $2$ und $\frac{9 x^{2}}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2}}}{3}$

Schritt 4.3.3.11

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{18 x^{2}}{2}}}{3}$

Schritt 4.3.3.12

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.12.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{18 x^{2}}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.12.1.1

Faktorisiere $2$ aus $18 x^{2}$ heraus.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2}}}{3}$

Schritt 4.3.3.12.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2 (1)}}}{3}$

Schritt 4.3.3.12.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2 \cdot 1}}}{3}$

Schritt 4.3.3.12.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{1}}}{3}$

Schritt 4.3.3.12.2

Dividiere $9 x^{2}$ durch $1$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{9 x^{2}}}{3}$

Schritt 4.3.3.13

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{{(3 x)}^{2}}}{3}$

Schritt 4.3.3.14

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 4.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$