Trigonometrie Beispiele

$- \sin (5 x) - 8$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = - \sin (5 y) - 8$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $- \sin (5 y) - 8 = x$ um.

$- \sin (5 y) - 8 = x$

Schritt 2.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin (5 y) = x + 8$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (5 y) = x + 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (5 y) = x + 8$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin (5 y)}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{8}{- 1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (5 y)}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{8}{- 1}$

Schritt 2.3.2.2

Dividiere $\sin (5 y)$ durch $1$ .

$\sin (5 y) = \frac{x}{- 1} + \frac{8}{- 1}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x}{- 1}$ .

$\sin (5 y) = - 1 \cdot x + \frac{8}{- 1}$

Schritt 2.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x$ als $- x$ um.

$\sin (5 y) = - x + \frac{8}{- 1}$

Schritt 2.3.3.1.3

Dividiere $8$ durch $- 1$ .

$\sin (5 y) = - x - 8$

Schritt 2.4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$5 y = \arcsin (- x - 8)$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $5 y = \arcsin (- x - 8)$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y = \arcsin (- x - 8)$ durch $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\arcsin (- x - 8)}{5}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\arcsin (- x - 8)}{5}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arcsin (- x - 8)}{5}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (- x - 8)}{5}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (- x - 8)}{5}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \sin (5 x) - 8$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \sin (5 x) - 8)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \sin (5 x) - 8) = \frac{\arcsin (- (- \sin (5 x) - 8) - 8)}{5}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- \sin (5 x) - 8) = \frac{\arcsin (\sin (5 x) + 8 - 8)}{5}$

Schritt 4.2.3.1.2

Multipliziere $- - \sin (5 x)$ .

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- \sin (5 x) - 8) = \frac{\arcsin (1 \sin (5 x) + 8 - 8)}{5}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $\sin (5 x)$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- \sin (5 x) - 8) = \frac{\arcsin (\sin (5 x) + 8 - 8)}{5}$

Schritt 4.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$f^{- 1} (- \sin (5 x) - 8) = \frac{\arcsin (\sin (5 x) + 8 - 8)}{5}$

Schritt 4.2.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sin (5 x) + 8 - 8$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f^{- 1} (- \sin (5 x) - 8) = \frac{\arcsin (\sin (5 x) + 0)}{5}$

Schritt 4.2.3.2.2

Addiere $\sin (5 x)$ und $0$ .

$f^{- 1} (- \sin (5 x) - 8) = \frac{\arcsin (\sin (5 x))}{5}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\arcsin (- x - 8)}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\arcsin (- x - 8)}{5}) = - \sin (5 (\frac{\arcsin (- x - 8)}{5})) - 8$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arcsin (- x - 8)}{5}) = - \sin (5 (\frac{\arcsin (- x - 8)}{5})) - 8$

Schritt 4.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arcsin (- x - 8)}{5}) = - \sin (\arcsin (- x - 8)) - 8$

Schritt 4.3.3.2

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (\frac{\arcsin (- x - 8)}{5}) = - (- x - 8) - 8$

Schritt 4.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\arcsin (- x - 8)}{5}) = x + 8 - 8$

Schritt 4.3.3.4

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 4.3.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{\arcsin (- x - 8)}{5}) = 1 x + 8 - 8$

Schritt 4.3.3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{\arcsin (- x - 8)}{5}) = x + 8 - 8$

Schritt 4.3.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$f (\frac{\arcsin (- x - 8)}{5}) = x + 8 - 8$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 8 - 8$ .

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f (\frac{\arcsin (- x - 8)}{5}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\arcsin (- x - 8)}{5}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (- x - 8)}{5}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \sin (5 x) - 8$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (- x - 8)}{5}$