Trigonometrie Beispiele

$k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$

Schritt 1

Schreibe $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ als Gleichung.

$y = \sqrt{2 x^{2} + 5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{2 y^{2} + 5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{2 y^{2} + 5} = x$ um.

$\sqrt{2 y^{2} + 5} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 y^{2} + 5}}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 y^{2} + 5}$ als ${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 y^{2} + 5)}^{1} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$2 y^{2} + 5 = x^{2}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y^{2} = x^{2} - 5$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} = x^{2} - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} = x^{2} - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 3.4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}}$ .

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Schritt 3.4.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 5}{2}}$

Schritt 3.4.4.2

Schreibe $\sqrt{\frac{x^{2} - 5}{2}}$ als $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.4.4.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.4.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.4.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.4.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 3.4.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.4.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.4.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.4.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.4.4.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} - 5) \cdot 2}}{2}$

Schritt 3.4.4.6

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} - 5) \cdot 2}}{2}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Schritt 3.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Schritt 3.4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Schritt 3.4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $k^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ die Umkehrfunktion von $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ und $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[\sqrt{5}, \infty)$

Schritt 5.3

Find the domain of the inverse.

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Schritt 5.3.1

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 (x^{2} - 5)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 (x^{2} - 5) \geq 0$

Schritt 5.3.1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1.2.1

Vereinfache $2 (x^{2} - 5)$ .

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Schritt 5.3.1.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 2 \cdot - 5 \geq 0$

Schritt 5.3.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$2 x^{2} - 10 \geq 0$

Schritt 5.3.1.2.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = - \sqrt{5}, \sqrt{5}$

Schritt 5.3.1.2.3

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \sqrt{5}$

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$

$x > \sqrt{5}$

Schritt 5.3.1.2.4

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.3.1.2.4.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \sqrt{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.1.2.4.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \sqrt{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 5$

Schritt 5.3.1.2.4.1.2

Ersetze $x$ durch $- 5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 ({(- 5)}^{2} - 5) \geq 0$

Schritt 5.3.1.2.4.1.3

Die linke Seite $40$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.3.1.2.4.2

Teste einen Wert im Intervall $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.1.2.4.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.3.1.2.4.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 ({(0)}^{2} - 5) \geq 0$

Schritt 5.3.1.2.4.2.3

Die linke Seite $- 10$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.3.1.2.4.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \sqrt{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.1.2.4.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \sqrt{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 5.3.1.2.4.3.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 ({(5)}^{2} - 5) \geq 0$

Schritt 5.3.1.2.4.3.3

Die linke Seite $40$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.3.1.2.4.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \sqrt{5}$ Wahr

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ Falsch

$x > \sqrt{5}$ Wahr

$x < - \sqrt{5}$ Wahr

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ Falsch

$x > \sqrt{5}$ Wahr

Schritt 5.3.1.2.5

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - \sqrt{5}$ oder $x \geq \sqrt{5}$

Schritt 5.3.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$

Schritt 5.3.2

Finde die Union (Vereinigung) von $(- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty), (- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$ .

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Schritt 5.3.2.1

Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in jedem Intervall enthalten sind.

$(- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$

Schritt 5.4

Da die Definitionsbereich von $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ nicht gleich dem Wertebereich von $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ ist, ist $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ keine inverse Funktion von $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 6