Trigonometrie Beispiele

$h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$

Schritt 1

Schreibe $h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$ als Gleichung.

$y = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 4 \log_{5} (y - 6) + 1$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $4 \log_{5} (y - 6) + 1 = x$ um.

$4 \log_{5} (y - 6) + 1 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \log_{5} (y - 6) = x - 1$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $4 \log_{5} (y - 6) = x - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \log_{5} (y - 6) = x - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 \log_{5} (y - 6)}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \log_{5} (y - 6)}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $\log_{5} (y - 6)$ durch $1$ .

$\log_{5} (y - 6) = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\log_{5} (y - 6) = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 3.4

Schreibe $\log_{5} (y - 6) = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} = y - 6$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $y - 6 = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}$ um.

$y - 6 = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}$

Schritt 3.5.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $h^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$

Schritt 5

Überprüfe, ob $h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$ die Umkehrfunktion von $h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $h^{- 1} (h (x)) = x$ ist und $h (h^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $h^{- 1} (h (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$h^{- 1} (h (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $h$ in $h^{- 1}$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6) + 1}{4} - \frac{1}{4}} + 6$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6) + 1 - 1}{4}} + 6$

Schritt 5.2.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 \log_{5} (x - 6) + 1 - 1$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6) + 0}{4}} + 6$

Schritt 5.2.3.2.2

Addiere $4 \log_{5} (x - 6)$ und $0$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6)}{4}} + 6$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache $4 \log_{5} (x - 6)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{\log_{5} ({(x - 6)}^{4})}{4}} + 6$

Schritt 5.2.3.4

Zerlege $\log_{5} ({(x - 6)}^{4})$ durch Herausziehen von $4$ aus dem Logarithmus.

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6)}{4}} + 6$

Schritt 5.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6)}{4}} + 6$

Schritt 5.2.3.5.2

Dividiere $\log_{5} (x - 6)$ durch $1$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\log_{5} (x - 6)} + 6$

Schritt 5.2.3.6

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = x - 6 + 6$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 6 + 6$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 6$ und $6$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = x$

Schritt 5.3

Berechne $h (h^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$h (h^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6)$ durch Einsetzen des Wertes von $h^{- 1}$ in $h$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 \log_{5} ((5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) - 6) + 1$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 \log_{5} ((5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) - 6) + 1$ .

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 \log_{5} (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 0) + 1$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}$ und $0$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 \log_{5} (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}) + 1$

Schritt 5.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.4.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $\frac{x}{4} - \frac{1}{4}$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 ((\frac{x}{4} - \frac{1}{4}) \log_{5} (5)) + 1$

Schritt 5.3.4.2

Die logarithmische Basis $5$ von $5$ ist $1$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 ((\frac{x}{4} - \frac{1}{4}) \cdot 1) + 1$

Schritt 5.3.4.3

Mutltipliziere $\frac{x}{4} - \frac{1}{4}$ mit $1$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 (\frac{x}{4} - \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 5.3.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 5.3.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 5.3.4.5.2

Forme den Ausdruck um.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 4 (- \frac{1}{4}) + 1$

Schritt 5.3.4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.4.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 4 (\frac{- 1}{4}) + 1$

Schritt 5.3.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 4 (\frac{- 1}{4}) + 1$

Schritt 5.3.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x - 1 + 1$

Schritt 5.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.3.5.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x$

Schritt 5.4

Da $h^{- 1} (h (x)) = x$ und $h (h^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$ .

$h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$