Trigonometrie Beispiele

$h (t) = 100 - 4.9 t^{2}$

Schritt 1

Schreibe $h (t) = 100 - 4.9 t^{2}$ als Gleichung.

$y = 100 - 4.9 t^{2}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$t = 100 - 4.9 y^{2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $100 - 4.9 y^{2} = t$ um.

$100 - 4.9 y^{2} = t$

Schritt 3.2

Subtrahiere $100$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4.9 y^{2} = t - 100$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 4.9 y^{2} = t - 100$ durch $- 4.9$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4.9 y^{2} = t - 100$ durch $- 4.9$ .

$\frac{- 4.9 y^{2}}{- 4.9} = \frac{t}{- 4.9} + \frac{- 100}{- 4.9}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4.9$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4.9 y^{2}}{- 4.9} = \frac{t}{- 4.9} + \frac{- 100}{- 4.9}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{t}{- 4.9} + \frac{- 100}{- 4.9}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - \frac{t}{4.9} + \frac{- 100}{- 4.9}$

Schritt 3.3.3.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$y^{2} = - \frac{1 t}{4.9} + \frac{- 100}{- 4.9}$

Schritt 3.3.3.1.3

Faktorisiere $4.9$ aus $4.9$ heraus.

$y^{2} = - \frac{1 t}{4.9 (1)} + \frac{- 100}{- 4.9}$

Schritt 3.3.3.1.4

Separiere Brüche.

$y^{2} = - (\frac{1}{4.9} \cdot \frac{t}{1}) + \frac{- 100}{- 4.9}$

Schritt 3.3.3.1.5

Dividiere $1$ durch $4.9$ .

$y^{2} = - (0.20408163 \frac{t}{1}) + \frac{- 100}{- 4.9}$

Schritt 3.3.3.1.6

Dividiere $t$ durch $1$ .

$y^{2} = - (0.20408163 t) + \frac{- 100}{- 4.9}$

Schritt 3.3.3.1.7

Mutltipliziere $0.20408163$ mit $- 1$ .

$y^{2} = - 0.20408163 t + \frac{- 100}{- 4.9}$

Schritt 3.3.3.1.8

Dividiere $- 100$ durch $- 4.9$ .

$y^{2} = - 0.20408163 t + 20.40816326$

Schritt 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 0.20408163 t + 20.40816326}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{- 0.20408163 t + 20.40816326}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{- 0.20408163 t + 20.40816326}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{- 0.20408163 t + 20.40816326}$

$y = - \sqrt{- 0.20408163 t + 20.40816326}$

$y = \sqrt{- 0.20408163 t + 20.40816326}$

$y = - \sqrt{- 0.20408163 t + 20.40816326}$

$y = \sqrt{- 0.20408163 t + 20.40816326}$

$y = - \sqrt{- 0.20408163 t + 20.40816326}$

Schritt 4

Replace $y$ with $h^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$h^{- 1} (t) = \sqrt{- 0.20408163 t + 20.40816326}, - \sqrt{- 0.20408163 t + 20.40816326}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $h^{- 1} (t) = \sqrt{- 0.20408163 t + 20.40816326}, - \sqrt{- 0.20408163 t + 20.40816326}$ die Umkehrfunktion von $h (t) = 100 - 4.9 t^{2}$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $h (t) = 100 - 4.9 t^{2}$ und $h^{- 1} (t) = \sqrt{- 0.20408163 t + 20.40816326}, - \sqrt{- 0.20408163 t + 20.40816326}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $h (t) = 100 - 4.9 t^{2}$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 100]$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{- 0.20408163 t + 20.40816326}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{- 0.20408163 t + 20.40816326}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- 0.20408163 t + 20.40816326 \geq 0$

Schritt 5.3.2

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Subtrahiere $20.40816326$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 0.20408163 t \geq - 20.40816326$

Schritt 5.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 0.20408163 t \geq - 20.40816326$ durch $- 0.20408163$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.2.1

Teile jeden Term in $- 0.20408163 t \geq - 20.40816326$ durch $- 0.20408163$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 0.20408163 t}{- 0.20408163} \leq \frac{- 20.40816326}{- 0.20408163}$

Schritt 5.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 0.20408163$ .

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Schritt 5.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 0.20408163 t}{- 0.20408163} \leq \frac{- 20.40816326}{- 0.20408163}$

Schritt 5.3.2.2.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t \leq \frac{- 20.40816326}{- 0.20408163}$

Schritt 5.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.2.3.1

Dividiere $- 20.40816326$ durch $- 0.20408163$ .

$t \leq 100$

Schritt 5.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $t$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 100]$

Schritt 5.4

Da die Definitionsbereich von $h^{- 1} (t) = \sqrt{- 0.20408163 t + 20.40816326}, - \sqrt{- 0.20408163 t + 20.40816326}$ nicht gleich dem Wertebereich von $h (t) = 100 - 4.9 t^{2}$ ist, ist $h^{- 1} (t) = \sqrt{- 0.20408163 t + 20.40816326}, - \sqrt{- 0.20408163 t + 20.40816326}$ keine inverse Funktion von $h (t) = 100 - 4.9 t^{2}$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 6