Trigonometrie Beispiele

$g (x) = \sqrt{4 x - 2}$

Schritt 1

Schreibe $g (x) = \sqrt{4 x - 2}$ als Gleichung.

$y = \sqrt{4 x - 2}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{4 y - 2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{4 y - 2} = x$ um.

$\sqrt{4 y - 2} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{4 y - 2}}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 y - 2}$ als ${(4 y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(4 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(4 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 y - 2)}^{1} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$4 y - 2 = x^{2}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = x^{2} + 2$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y = x^{2} + 2$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = x^{2} + 2$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2}{4}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2}{4}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2}{4}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (1)}{4}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 4

Replace $y$ with $g^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$g^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $g^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}$ die Umkehrfunktion von $g (x) = \sqrt{4 x - 2}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $g^{- 1} (g (x)) = x$ ist und $g (g^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $g^{- 1} (g (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$g^{- 1} (g (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2})$ durch Einsetzen des Wertes von $g$ in $g^{- 1}$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{(\sqrt{4 x - 2})}^{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x - 2$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{\sqrt{2 (2 x) - 2}}^{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{\sqrt{2 (2 x) + 2 (- 1)}}^{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (- 1)$ heraus.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{\sqrt{2 (2 x - 1)}}^{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{2 (2 x - 1)}}^{2}$ als $2 (2 x - 1)$ um.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 (2 x - 1)}$ als ${(2 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{({(2 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{(2 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{(2 (2 x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{(2 (2 x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x - 1)}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.2.5

Vereinfache.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x - 1)}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 1}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{4 x + 2 \cdot - 1}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{4 x - 2}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.6

Faktorisiere $2$ aus $4 x - 2$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x) - 2}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x) + 2 (- 1)}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (- 1)$ heraus.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x - 1)}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x - 1)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x - 1)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 x - 1}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.2.4.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 5.2.4.2.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $g (g^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$g (g^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $g^{- 1}$ in $g$ .

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) - 2}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $2$ aus $4 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) - 2$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2})$ heraus.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (2 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2})) - 2}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (2 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2})) + 2 (- 1)}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2})) + 2 (- 1)$ heraus.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (2 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) - 1)}$

Schritt 5.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (2 (\frac{x^{2}}{4}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (2 (\frac{x^{2}}{2 (2)}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Schritt 5.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (2 (\frac{x^{2}}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Schritt 5.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Schritt 5.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 1 - 1)}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 5.3.7.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 0)}$

Schritt 5.3.7.2

Addiere $\frac{x^{2}}{2}$ und $0$ .

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2})}$

Schritt 5.3.8

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Schritt 5.3.9

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.9.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 x^{2}}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Schritt 5.3.9.1.2

Forme den Ausdruck um.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Schritt 5.3.9.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Schritt 5.3.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $g^{- 1} (g (x)) = x$ und $g (g^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $g^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $g (x) = \sqrt{4 x - 2}$ .

$g^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}$