Trigonometrie Beispiele

$g (x) = {(x - 2)}^{3} - 1$

Schritt 1

Schreibe $g (x) = {(x - 2)}^{3} - 1$ als Gleichung.

$y = {(x - 2)}^{3} - 1$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(y - 2)}^{3} - 1$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${(y - 2)}^{3} - 1 = x$ um.

${(y - 2)}^{3} - 1 = x$

Schritt 3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${(y - 2)}^{3} = x + 1$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y - 2 = \sqrt[3]{x + 1}$

Schritt 3.4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sqrt[3]{x + 1} + 2$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $g^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$g^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 1} + 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $g^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 1} + 2$ die Umkehrfunktion von $g (x) = {(x - 2)}^{3} - 1$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $g^{- 1} (g (x)) = x$ ist und $g (g^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $g^{- 1} (g (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$g^{- 1} (g (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $g^{- 1} ({(x - 2)}^{3} - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $g$ in $g^{- 1}$ .

$g^{- 1} ({(x - 2)}^{3} - 1) = \sqrt[3]{({(x - 2)}^{3} - 1) + 1} + 2$

Schritt 5.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sqrt[3]{({(x - 2)}^{3} - 1) + 1} + 2$ .

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Schritt 5.2.3.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$g^{- 1} ({(x - 2)}^{3} - 1) = \sqrt[3]{{(x - 2)}^{3} + 0} + 2$

Schritt 5.2.3.2

Addiere ${(x - 2)}^{3}$ und $0$ .

$g^{- 1} ({(x - 2)}^{3} - 1) = \sqrt[3]{{(x - 2)}^{3}} + 2$

Schritt 5.2.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$g^{- 1} ({(x - 2)}^{3} - 1) = x - 2 + 2$

Schritt 5.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 5.2.5.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$g^{- 1} ({(x - 2)}^{3} - 1) = x + 0$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$g^{- 1} ({(x - 2)}^{3} - 1) = x$

Schritt 5.3

Berechne $g (g^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$g (g^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $g (\sqrt[3]{x + 1} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $g^{- 1}$ in $g$ .

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = {((\sqrt[3]{x + 1} + 2) - 2)}^{3} - 1$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in ${((\sqrt[3]{x + 1} + 2) - 2)}^{3} - 1$ .

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = {(\sqrt[3]{x + 1} + 0)}^{3} - 1$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\sqrt[3]{x + 1}$ und $0$ .

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = {\sqrt[3]{x + 1}}^{3} - 1$

Schritt 5.3.4

Schreibe ${\sqrt[3]{x + 1}}^{3}$ als $x + 1$ um.

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Schritt 5.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 1$

Schritt 5.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = {(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 1$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = {(x + 1)}^{\frac{3}{3}} - 1$

Schritt 5.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = {(x + 1)}^{\frac{3}{3}} - 1$

Schritt 5.3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = (x + 1) - 1$

Schritt 5.3.4.5

Vereinfache.

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = x + 1 - 1$

Schritt 5.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 5.3.5.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = x + 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = x$

Schritt 5.4

Da $g^{- 1} (g (x)) = x$ und $g (g^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $g^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 1} + 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $g (x) = {(x - 2)}^{3} - 1$ .

$g^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 1} + 2$