Trigonometrie Beispiele

$\sec (\arctan (\frac{x}{3}))$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sec (\arctan (\frac{y}{3}))$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sec (\arctan (\frac{y}{3})) = x$ um.

$\sec (\arctan (\frac{y}{3})) = x$

Schritt 2.2

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $\arctan (\frac{y}{3})$ aus dem Sekans zu ziehen.

$\arctan (\frac{y}{3}) = arcsec (x)$

Schritt 2.3

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$\frac{y}{3} = \tan (arcsec (x))$

Schritt 2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $\tan (arcsec (x))$ .

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Schritt 2.4.1.1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 2.4.1.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \sqrt{x^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $arcsec (x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \sqrt{x^{2} - 1^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\tan (arcsec (x))$ $\sqrt{x^{2} - 1}$ .

$\frac{y}{3} = \sqrt{x^{2} - 1}$

Schritt 2.4.1.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{y}{3} = \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 2.4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{y}{3} = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2.5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2.6

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y}{3} = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3})))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{((\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) + 1) ((\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) - 1)}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.3.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \frac{x}{3})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (\frac{x}{3})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \frac{x}{3})$ verläuft. Folglich ist $\sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ $\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Schritt 4.2.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{3}$ an.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{3^{2}}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Schritt 4.2.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Schritt 4.2.3.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{9}{9} + \frac{x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{9 + x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Schritt 4.2.5

Schreibe $\frac{9 + x^{2}}{9}$ als ${(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})$ um.

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Schritt 4.2.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $9 + x^{2}$ heraus.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Schritt 4.2.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Schritt 4.2.5.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Schritt 4.2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 + x^{2}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Schritt 4.2.7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sqrt{9 + x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Schritt 4.2.8

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + \frac{3}{3}) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Schritt 4.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Schritt 4.2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.10.1

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} - 1)}$

Schritt 4.2.10.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{3}$ an.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{3^{2}}} - 1)}$

Schritt 4.2.10.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}} - 1)}$

Schritt 4.2.10.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{9}{9} + \frac{x^{2}}{9}} - 1)}$

Schritt 4.2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{9 + x^{2}}{9}} - 1)}$

Schritt 4.2.12

Schreibe $\frac{9 + x^{2}}{9}$ als ${(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})$ um.

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Schritt 4.2.12.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $9 + x^{2}$ heraus.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{9}} - 1)}$

Schritt 4.2.12.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}} - 1)}$

Schritt 4.2.12.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})} - 1)}$

Schritt 4.2.13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 + x^{2}} - 1)}$

Schritt 4.2.14

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sqrt{9 + x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} - 1)}$

Schritt 4.2.15

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}$

Schritt 4.2.16

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.16.1

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}$

Schritt 4.2.16.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot \frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 4.2.16.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot \frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 3}{3}}$

Schritt 4.2.16.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3}$ mit $\frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 3}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.2.16.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

Schritt 4.2.17

Multipliziere $(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} (\sqrt{9 + x^{2}} - 3) + 3 (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

Schritt 4.2.17.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

Schritt 4.2.17.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Schritt 4.2.18

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.18.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 4.2.18.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3$ und $3 \sqrt{9 + x^{2}}$ neu an.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} - 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Schritt 4.2.18.1.2

Addiere $- 3 \sqrt{9 + x^{2}}$ und $3 \sqrt{9 + x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 0 + 3 \cdot - 3}{9}}$

Schritt 4.2.18.1.3

Addiere $\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Schritt 4.2.18.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.18.2.1

Multipliziere $\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}}$ .

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Schritt 4.2.18.2.1.1

Potenziere $\sqrt{9 + x^{2}}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Schritt 4.2.18.2.1.2

Potenziere $\sqrt{9 + x^{2}}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Schritt 4.2.18.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{1 + 1} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Schritt 4.2.18.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Schritt 4.2.18.2.2

Schreibe ${\sqrt{9 + x^{2}}}^{2}$ als $9 + x^{2}$ um.

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Schritt 4.2.18.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 + x^{2}}$ als ${(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{({(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Schritt 4.2.18.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Schritt 4.2.18.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Schritt 4.2.18.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.18.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Schritt 4.2.18.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(9 + x^{2}) + 3 \cdot - 3}{9}}$

Schritt 4.2.18.2.2.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{9 + x^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Schritt 4.2.18.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{9 + x^{2} - 9}{9}}$

Schritt 4.2.18.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.18.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $9 + x^{2} - 9$ .

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Schritt 4.2.18.3.1.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2} + 0}{9}}$

Schritt 4.2.18.3.1.2

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$

Schritt 4.2.18.3.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 4.2.19

Schreibe $\frac{x^{2}}{3^{2}}$ als ${(\frac{x}{3})}^{2}$ um.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2}}$

Schritt 4.2.20

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 (\frac{x}{3})$

Schritt 4.2.21

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.21.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 (\frac{x}{3})$

Schritt 4.2.21.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sec (\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3}))$

Schritt 4.3.3

Vereinfache durch Kürzen des Exponenten mit der Wurzel.

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Schritt 4.3.3.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ verläuft. Folglich ist $\sec (\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3}))$ $\sqrt{1 + {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Schritt 4.3.3.2

Schreibe ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ als $(x + 1) (x - 1)$ um.

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Schritt 4.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ als ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4.3.3.2.5

Vereinfache.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4.3.4

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x (x - 1) + 1 (x - 1)}$

Schritt 4.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}$

Schritt 4.3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.5.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.5.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.5.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + x - 1}$

Schritt 4.3.5.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} + 0 - 1}$

Schritt 4.3.5.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - 1}$

Schritt 4.3.6

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Schritt 4.3.7

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{x^{2}}$

Schritt 4.3.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ .

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$