Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 5 \sin (x + 4)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 5 \sin (x + 4)$ als Gleichung.

$y = 5 \sin (x + 4)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 5 \sin (y + 4)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $5 \sin (y + 4) = x$ um.

$5 \sin (y + 4) = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $5 \sin (y + 4) = x$ durch $5$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \sin (y + 4) = x$ durch $5$ .

$\frac{5 \sin (y + 4)}{5} = \frac{x}{5}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \sin (y + 4)}{5} = \frac{x}{5}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $\sin (y + 4)$ durch $1$ .

$\sin (y + 4) = \frac{x}{5}$

Schritt 3.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$y + 4 = \arcsin (\frac{x}{5})$

Schritt 3.4

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \arcsin (\frac{x}{5}) - 4$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{5}) - 4$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{5}) - 4$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 5 \sin (x + 4)$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (5 \sin (x + 4))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \sin (x + 4)) = \arcsin (\frac{5 \sin (x + 4)}{5}) - 4$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (5 \sin (x + 4)) = \arcsin (\frac{5 \sin (x + 4)}{5}) - 4$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $\sin (x + 4)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (5 \sin (x + 4)) = \arcsin (\sin (x + 4)) - 4$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\arcsin (\frac{x}{5}) - 4)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{5}) - 4) = 5 \sin ((\arcsin (\frac{x}{5}) - 4) + 4)$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\arcsin (\frac{x}{5}) - 4) + 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{5}) - 4) = 5 \sin (\arcsin (\frac{x}{5}) + 0)$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\arcsin (\frac{x}{5})$ und $0$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{5}) - 4) = 5 \sin (\arcsin (\frac{x}{5}))$

Schritt 5.3.4

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (\arcsin (\frac{x}{5}) - 4) = 5 (\frac{x}{5})$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\arcsin (\frac{x}{5}) - 4) = 5 (\frac{x}{5})$

Schritt 5.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\arcsin (\frac{x}{5}) - 4) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{5}) - 4$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 5 \sin (x + 4)$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{5}) - 4$