Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 5 \sin (x) + 3$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 5 \sin (x) + 3$ als Gleichung.

$y = 5 \sin (x) + 3$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 5 \sin (y) + 3$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $5 \sin (y) + 3 = x$ um.

$5 \sin (y) + 3 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 \sin (y) = x - 3$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $5 \sin (y) = x - 3$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \sin (y) = x - 3$ durch $5$ .

$\frac{5 \sin (y)}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 3}{5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \sin (y)}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 3}{5}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $\sin (y)$ durch $1$ .

$\sin (y) = \frac{x}{5} + \frac{- 3}{5}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (y) = \frac{x}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 3.4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$y = \arcsin (\frac{x}{5} - \frac{3}{5})$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{5} - \frac{3}{5})$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{5} - \frac{3}{5})$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 5 \sin (x) + 3$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (5 \sin (x) + 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \sin (x) + 3) = \arcsin (\frac{5 \sin (x) + 3}{5} - \frac{3}{5})$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (5 \sin (x) + 3) = \arcsin (\frac{5 \sin (x) + 3 - 3}{5})$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 \sin (x) + 3 - 3$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f^{- 1} (5 \sin (x) + 3) = \arcsin (\frac{5 \sin (x) + 0}{5})$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $5 \sin (x)$ und $0$ .

$f^{- 1} (5 \sin (x) + 3) = \arcsin (\frac{5 \sin (x)}{5})$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (5 \sin (x) + 3) = \arcsin (\frac{5 \sin (x)}{5})$

Schritt 5.2.5.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (5 \sin (x) + 3) = \arcsin (\sin (x))$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\arcsin (\frac{x}{5} - \frac{3}{5}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{5} - \frac{3}{5})) = 5 \sin (\arcsin (\frac{x}{5} - \frac{3}{5})) + 3$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (\arcsin (\frac{x}{5} - \frac{3}{5})) = 5 (\frac{x}{5} - \frac{3}{5}) + 3$

Schritt 5.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\arcsin (\frac{x}{5} - \frac{3}{5})) = 5 (\frac{x}{5}) + 5 (- \frac{3}{5}) + 3$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\arcsin (\frac{x}{5} - \frac{3}{5})) = 5 (\frac{x}{5}) + 5 (- \frac{3}{5}) + 3$

Schritt 5.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\arcsin (\frac{x}{5} - \frac{3}{5})) = x + 5 (- \frac{3}{5}) + 3$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{5}$ in den Zähler.

$f (\arcsin (\frac{x}{5} - \frac{3}{5})) = x + 5 (\frac{- 3}{5}) + 3$

Schritt 5.3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\arcsin (\frac{x}{5} - \frac{3}{5})) = x + 5 (\frac{- 3}{5}) + 3$

Schritt 5.3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\arcsin (\frac{x}{5} - \frac{3}{5})) = x - 3 + 3$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 3 + 3$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{5} - \frac{3}{5})) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{5} - \frac{3}{5})) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{5} - \frac{3}{5})$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 5 \sin (x) + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{5} - \frac{3}{5})$