Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \sin (x) + c$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sin (x) + c$ als Gleichung.

$y = \sin (x) + c$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sin (y) + c$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sin (y) + c = x$ um.

$\sin (y) + c = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $c$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (y) = x - c$

Schritt 3.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$y = \arcsin (x - c)$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x - c)$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \arcsin (x - c)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sin (x) + c$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sin (x) + c)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sin (x) + c) = \arcsin ((\sin (x) + c) - c)$

Schritt 5.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\sin (x) + c) - c$ .

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Schritt 5.2.3.1

Subtrahiere $c$ von $c$ .

$f^{- 1} (\sin (x) + c) = \arcsin (\sin (x) + 0)$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $\sin (x)$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sin (x) + c) = \arcsin (\sin (x))$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\arcsin (x - c))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\arcsin (x - c)) = \sin (\arcsin (x - c)) + c$

Schritt 5.3.3

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (\arcsin (x - c)) = x - c + c$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - c + c$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- c$ und $c$ .

$f (\arcsin (x - c)) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\arcsin (x - c)) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \arcsin (x - c)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sin (x) + c$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x - c)$