Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \cos (x - 9) - 5$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \cos (x - 9) - 5$ als Gleichung.

$y = \cos (x - 9) - 5$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \cos (y - 9) - 5$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\cos (y - 9) - 5 = x$ um.

$\cos (y - 9) - 5 = x$

Schritt 3.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (y - 9) = x + 5$

Schritt 3.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$y - 9 = \arccos (x + 5)$

Schritt 3.4

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \arccos (x + 5) + 9$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \arccos (x + 5) + 9$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \arccos (x + 5) + 9$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \cos (x - 9) - 5$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\cos (x - 9) - 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (x - 9) - 5) = \arccos ((\cos (x - 9) - 5) + 5) + 9$

Schritt 5.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\arccos ((\cos (x - 9) - 5) + 5) + 9$ .

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Schritt 5.2.3.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (\cos (x - 9) - 5) = \arccos (\cos (x - 9) + 0) + 9$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $\cos (x - 9)$ und $0$ .

$f^{- 1} (\cos (x - 9) - 5) = \arccos (\cos (x - 9)) + 9$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\arccos (x + 5) + 9)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\arccos (x + 5) + 9) = \cos ((\arccos (x + 5) + 9) - 9) - 5$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos ((\arccos (x + 5) + 9) - 9) - 5$ .

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$f (\arccos (x + 5) + 9) = \cos (\arccos (x + 5) + 0) - 5$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\arccos (x + 5)$ und $0$ .

$f (\arccos (x + 5) + 9) = \cos (\arccos (x + 5)) - 5$

Schritt 5.3.4

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f (\arccos (x + 5) + 9) = x + 5 - 5$

Schritt 5.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 5 - 5$ .

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Schritt 5.3.5.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (\arccos (x + 5) + 9) = x + 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\arccos (x + 5) + 9) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \arccos (x + 5) + 9$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \cos (x - 9) - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \arccos (x + 5) + 9$