Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \arctan (2 x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \arctan (2 x)$ als Gleichung.

$y = \arctan (2 x)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \arctan (2 y)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\arctan (2 y) = x$ um.

$\arctan (2 y) = x$

Schritt 3.2

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$2 y = \tan (x)$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \tan (x)$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \tan (x)$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (x)}{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (x)}{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\tan (x)}{2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\tan (x)}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\tan (x)}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \arctan (2 x)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\arctan (2 x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\arctan (2 x)) = \frac{\tan (\arctan (2 x))}{2}$

Schritt 5.2.3

Die Funktionen Tangens und Arkustangens sind Inverse.

$f^{- 1} (\arctan (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\arctan (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\arctan (2 x)) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\tan (x)}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\tan (x)}{2}) = \arctan (2 (\frac{\tan (x)}{2}))$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\tan (x)}{2}) = \arctan (2 (\frac{\tan (x)}{2}))$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\tan (x)}{2}) = \arctan (\tan (x))$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\tan (x)}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \arctan (2 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\tan (x)}{2}$