Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 7 \arcsin (x + 2)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 7 \arcsin (x + 2)$ als Gleichung.

$y = 7 \arcsin (x + 2)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 7 \arcsin (y + 2)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $7 \arcsin (y + 2) = x$ um.

$7 \arcsin (y + 2) = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $7 \arcsin (y + 2) = x$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 \arcsin (y + 2) = x$ durch $7$ .

$\frac{7 \arcsin (y + 2)}{7} = \frac{x}{7}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 \arcsin (y + 2)}{7} = \frac{x}{7}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $\arcsin (y + 2)$ durch $1$ .

$\arcsin (y + 2) = \frac{x}{7}$

Schritt 3.3

Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Arcussinus zu ziehen.

$y + 2 = \sin (\frac{x}{7})$

Schritt 3.4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sin (\frac{x}{7}) - 2$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sin (\frac{x}{7}) - 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sin (\frac{x}{7}) - 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 7 \arcsin (x + 2)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (7 \arcsin (x + 2))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (7 \arcsin (x + 2)) = \sin (\frac{7 \arcsin (x + 2)}{7}) - 2$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (7 \arcsin (x + 2)) = \sin (\frac{7 \arcsin (x + 2)}{7}) - 2$

Schritt 5.2.3.1.2

Dividiere $\arcsin (x + 2)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (7 \arcsin (x + 2)) = \sin (\arcsin (x + 2)) - 2$

Schritt 5.2.3.2

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f^{- 1} (7 \arcsin (x + 2)) = x + 2 - 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 - 2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (7 \arcsin (x + 2)) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (7 \arcsin (x + 2)) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\sin (\frac{x}{7}) - 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sin (\frac{x}{7}) - 2) = 7 \arcsin ((\sin (\frac{x}{7}) - 2) + 2)$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\sin (\frac{x}{7}) - 2) + 2$ .

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (\sin (\frac{x}{7}) - 2) = 7 \arcsin (\sin (\frac{x}{7}) + 0)$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\sin (\frac{x}{7})$ und $0$ .

$f (\sin (\frac{x}{7}) - 2) = 7 \arcsin (\sin (\frac{x}{7}))$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sin (\frac{x}{7}) - 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 7 \arcsin (x + 2)$ .

$f^{- 1} (x) = \sin (\frac{x}{7}) - 2$