Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ als Gleichung.

$y = 7 \arcsin (x^{2})$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 7 \arcsin (y^{2})$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $7 \arcsin (y^{2}) = x$ um.

$7 \arcsin (y^{2}) = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $7 \arcsin (y^{2}) = x$ durch $7$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 \arcsin (y^{2}) = x$ durch $7$ .

$\frac{7 \arcsin (y^{2})}{7} = \frac{x}{7}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 \arcsin (y^{2})}{7} = \frac{x}{7}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $\arcsin (y^{2})$ durch $1$ .

$\arcsin (y^{2}) = \frac{x}{7}$

Schritt 3.3

Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Arcussinus zu ziehen.

$y^{2} = \sin (\frac{x}{7})$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ und $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[- \frac{7 π}{2}, \frac{7 π}{2}]$

Schritt 5.3

Find the domain of the inverse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sin (\frac{x}{7}) \geq 0$

Schritt 5.3.1.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{x}{7} \geq \arcsin (0)$

Schritt 5.3.1.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$\frac{x}{7} \geq 0$

Schritt 5.3.1.2.3

Multipliziere beide Seiten mit $7$ .

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

Schritt 5.3.1.2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

Schritt 5.3.1.2.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x \geq 0 \cdot 7$

Schritt 5.3.1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.4.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $7$ .

$x \geq 0$

Schritt 5.3.1.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{7} = π - 0$

Schritt 5.3.1.2.6

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.6.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $7$ .

$7 \frac{x}{7} = 7 (π - 0)$

Schritt 5.3.1.2.6.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \frac{x}{7} = 7 (π - 0)$

Schritt 5.3.1.2.6.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 7 (π - 0)$

Schritt 5.3.1.2.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.6.2.2.1

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = 7 π$

Schritt 5.3.1.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{x}{7})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.3.1.2.7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{7}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{7} |}$

Schritt 5.3.1.2.7.3

$\frac{1}{7}$ ist ungefähr $0.\overline{142857}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.1.2.7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 7$

Schritt 5.3.1.2.7.5

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$14 π$

Schritt 5.3.1.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{x}{7})$ ist $14 π$ , d. h., Werte werden sich alle $14 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 14 π n, 7 π + 14 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5.3.1.2.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 7 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5.3.1.2.10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$0 < x < 7 π$

$7 π < x < 14 π$

Schritt 5.3.1.2.11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.11.1

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 7 π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 7 π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 5.3.1.2.11.1.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (\frac{2}{7}) \geq 0$

Schritt 5.3.1.2.11.1.3

Die linke Seite $0.28184285$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.3.1.2.11.2

Teste einen Wert im Intervall $7 π < x < 14 π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $7 π < x < 14 π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 24$

Schritt 5.3.1.2.11.2.2

Ersetze $x$ durch $24$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (\frac{24}{7}) \geq 0$

Schritt 5.3.1.2.11.2.3

Die linke Seite $- 0.28305585$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.3.1.2.11.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$0 < x < 7 π$ Wahr

$7 π < x < 14 π$ Falsch

$0 < x < 7 π$ Wahr

$7 π < x < 14 π$ Falsch

Schritt 5.3.1.2.12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 + 14 π n \leq x \leq 7 π + 14 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5.3.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

${x | x = 0 + 14 π n, x = 7 π + 14 π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5.3.2

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in jedem Intervall enthalten sind.

Keine Lösung

Schritt 5.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ keine inverse Funktion von $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 6