Trigonometrie Beispiele

Ermittle die Umkehrfunktion f(x)=7arcsin(x^2)
Schritt 1
Schreibe als Gleichung.
Schritt 2
Vertausche die Variablen.
Schritt 3
Löse nach auf.
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Schritt 3.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 3.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 3.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 3.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 3.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 3.3
Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um aus dem Arcussinus zu ziehen.
Schritt 3.4
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 3.5
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
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Schritt 3.5.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 3.5.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 3.5.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 4
Ersetze durch , um die endgültige Lösung anzuzeigen.
Schritt 5
Überprüfe, ob die Umkehrfunktion von ist.
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Schritt 5.1
Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von und und vergleiche sie.
Schritt 5.2
Finde den Wertebereich von .
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Schritt 5.2.1
Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.
Intervallschreibweise:
Schritt 5.3
Find the domain of the inverse.
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Schritt 5.3.1
Bestimme den Definitionsbereich von .
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Schritt 5.3.1.1
Setze den Radikanden in größer als oder gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 5.3.1.2
Löse nach auf.
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Schritt 5.3.1.2.1
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 5.3.1.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 5.3.1.2.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 5.3.1.2.3
Multipliziere beide Seiten mit .
Schritt 5.3.1.2.4
Vereinfache.
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Schritt 5.3.1.2.4.1
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 5.3.1.2.4.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 5.3.1.2.4.1.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.3.1.2.4.1.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.3.1.2.4.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 5.3.1.2.4.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.1.2.5
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 5.3.1.2.6
Löse nach auf.
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Schritt 5.3.1.2.6.1
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit .
Schritt 5.3.1.2.6.2
Vereinfache beide Seiten der Gleichung.
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Schritt 5.3.1.2.6.2.1
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 5.3.1.2.6.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 5.3.1.2.6.2.1.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.3.1.2.6.2.1.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.3.1.2.6.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 5.3.1.2.6.2.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 5.3.1.2.7
Ermittele die Periode von .
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Schritt 5.3.1.2.7.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 5.3.1.2.7.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 5.3.1.2.7.3
ist ungefähr , was positiv ist, also entferne den Absolutwert
Schritt 5.3.1.2.7.4
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 5.3.1.2.7.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.1.2.8
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede Ganzzahl
Schritt 5.3.1.2.9
Fasse die Ergebnisse zusammen.
, für jede Ganzzahl
Schritt 5.3.1.2.10
Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.
Schritt 5.3.1.2.11
Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.
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Schritt 5.3.1.2.11.1
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
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Schritt 5.3.1.2.11.1.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 5.3.1.2.11.1.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 5.3.1.2.11.1.3
Die linke Seite ist größer als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.
Wahr
Wahr
Schritt 5.3.1.2.11.2
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
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Schritt 5.3.1.2.11.2.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 5.3.1.2.11.2.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 5.3.1.2.11.2.3
Die linke Seite ist kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.
Falsch
Falsch
Schritt 5.3.1.2.11.3
Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.
Wahr
Falsch
Wahr
Falsch
Schritt 5.3.1.2.12
Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 5.3.1.3
Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von , für die der Ausdruck definiert ist.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 5.3.2

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Schritt 5.3.2.1
Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in jedem Intervall enthalten sind.
Keine Lösung
Keine Lösung
Keine Lösung
Schritt 5.4
Da die Definitionsbereich von nicht gleich dem Wertebereich von ist, ist keine inverse Funktion von .
Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)
Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)
Schritt 6