Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 3 \cos (2 x + 3)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 3 \cos (2 x + 3)$ als Gleichung.

$y = 3 \cos (2 x + 3)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 3 \cos (2 y + 3)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $3 \cos (2 y + 3) = x$ um.

$3 \cos (2 y + 3) = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 \cos (2 y + 3) = x$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \cos (2 y + 3) = x$ durch $3$ .

$\frac{3 \cos (2 y + 3)}{3} = \frac{x}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cos (2 y + 3)}{3} = \frac{x}{3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $\cos (2 y + 3)$ durch $1$ .

$\cos (2 y + 3) = \frac{x}{3}$

Schritt 3.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 y + 3 = \arccos (\frac{x}{3})$

Schritt 3.4

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = \arccos (\frac{x}{3}) - 3$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \arccos (\frac{x}{3}) - 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \arccos (\frac{x}{3}) - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3 \cos (2 x + 3)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (3 \cos (2 x + 3))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 \cos (2 x + 3)) = \frac{\arccos (\frac{3 \cos (2 x + 3)}{3})}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 \cos (2 x + 3)) = \frac{\arccos (\frac{3 \cos (2 x + 3)}{3})}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $\cos (2 x + 3)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (3 \cos (2 x + 3)) = \frac{\arccos (\cos (2 x + 3))}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) + 3)$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2}) + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2}) + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (\arccos (\frac{x}{3}) + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (\arccos (\frac{x}{3}) + 2 (\frac{- 3}{2}) + 3)$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (\arccos (\frac{x}{3}) + 2 (\frac{- 3}{2}) + 3)$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (\arccos (\frac{x}{3}) - 3 + 3)$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\arccos (\frac{x}{3}) - 3 + 3$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (\arccos (\frac{x}{3}) + 0)$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $\arccos (\frac{x}{3})$ und $0$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (\arccos (\frac{x}{3}))$

Schritt 5.3.5

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 (\frac{x}{3})$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 (\frac{x}{3})$

Schritt 5.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3 \cos (2 x + 3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}$